Hitunglah: lim x->2

-3

Pembahasan

Untuk menghitung limit tersebut, kita akan menggunakan metode subtitusi dan jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan sekawan.

lim x->2 (akar(x+2)-akar(3x-2))/(akar(5x-1)-akar(4x+1))

Jika kita substitusi x=2:
Pembilang: akar(2+2) - akar(3*2-2) = akar(4) - akar(4) = 2 - 2 = 0
Penyebut: akar(5*2-1) - akar(4*2+1) = akar(9) - akar(9) = 3 - 3 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (f(x) = akar(x+2) - akar(3x-2)) adalah:
f'(x) = (1/2)*(x+2)^(-1/2) * 1 - (1/2)*(3x-2)^(-1/2) * 3
f'(x) = 1/(2*akar(x+2)) - 3/(2*akar(3x-2))

Turunan dari penyebut (g(x) = akar(5x-1) - akar(4x+1)) adalah:
g'(x) = (1/2)*(5x-1)^(-1/2) * 5 - (1/2)*(4x+1)^(-1/2) * 4
g'(x) = 5/(2*akar(5x-1)) - 4/(2*akar(4x+1))

Sekarang kita hitung lim x->2 f'(x)/g'(x):

f'(2) = 1/(2*akar(2+2)) - 3/(2*akar(3*2-2)) = 1/(2*akar(4)) - 3/(2*akar(4)) = 1/(2*2) - 3/(2*2) = 1/4 - 3/4 = -2/4 = -1/2

g'(2) = 5/(2*akar(5*2-1)) - 4/(2*akar(4*2+1)) = 5/(2*akar(9)) - 4/(2*akar(9)) = 5/(2*3) - 4/(2*3) = 5/6 - 4/6 = 1/6

Jadi, lim x->2 f'(x)/g'(x) = (-1/2) / (1/6) = -1/2 * 6/1 = -3.

Alternatif dengan perkalian sekawan:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan pembilang dan penyebut:

Pembilang sekawan: akar(x+2) + akar(3x-2)
Penyebut sekawan: akar(5x-1) + akar(4x+1)

lim x->2 [(akar(x+2)-akar(3x-2))/(akar(5x-1)-akar(4x+1))] * [(akar(x+2)+akar(3x-2))/(akar(x+2)+akar(3x-2))] * [(akar(5x-1)+akar(4x+1))/(akar(5x-1)+akar(4x+1))]

= lim x->2 [((x+2)-(3x-2)) / ((5x-1)-(4x+1))] * [(akar(5x-1)+akar(4x+1))/(akar(x+2)+akar(3x-2))]
= lim x->2 [(-2x+4) / (x-2)] * [(akar(5x-1)+akar(4x+1))/(akar(x+2)+akar(3x-2))]
= lim x->2 [-2(x-2) / (x-2)] * [(akar(5x-1)+akar(4x+1))/(akar(x+2)+akar(3x-2))]

Batalkan (x-2):
= lim x->2 [-2] * [(akar(5x-1)+akar(4x+1))/(akar(x+2)+akar(3x-2))]

Substitusi x=2:
= -2 * [(akar(5*2-1)+akar(4*2+1))/(akar(2+2)+akar(3*2-2))]
= -2 * [(akar(9)+akar(9))/(akar(4)+akar(4))]
= -2 * [(3+3)/(2+2)]
= -2 * [6/4]
= -2 * [3/2]
= -3