Hitunglah lim _(x -> a) ((tan x-tan a))/(x-a)

Nilai limitnya adalah sec^2(a).

Pembahasan

Untuk menghitung limit  lim  _(x -> a) ((tan x-tan a))/(x-a), kita dapat mengenali bahwa ini adalah definisi dari turunan fungsi tangen pada titik x = a.

Misalkan f(x) = tan(x).
Maka, f'(x) = sec^2(x).

Menurut definisi turunan, f'(a) = lim  _(x -> a) ((f(x)-f(a)))/(x-a).
Dalam kasus ini, f(x) = tan(x), sehingga f(a) = tan(a).

Jadi, lim  _(x -> a) ((tan x-tan a))/(x-a) adalah turunan dari tan(x) pada x = a.

Turunan dari tan(x) adalah sec^2(x).

Maka, lim  _(x -> a) ((tan x-tan a))/(x-a) = sec^2(a).

Kita tahu bahwa sec(a) = 1/cos(a), sehingga sec^2(a) = 1/cos^2(a).

Jadi, nilai limitnya adalah sec^2(a) atau 1/cos^2(a).