Penyelesaian dari pertidaksamaan 2log(x^2+6x+8)>3 adalah...

Penyelesaiannya adalah $x < -6$ atau $x > 0$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma $2 \log(x^2+6x+8) > 3$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ubah bentuk pertidaksamaan:**
    Kita tahu bahwa $3$ dapat ditulis sebagai $2 \log(2^3)$ atau $2 \log(8)$.
    Jadi, pertidaksamaannya menjadi:
    $2 \log(x^2+6x+8) > 2 \log(8)$

2.  **Hilangkan logaritma:**
    Karena basis logaritma (2) lebih besar dari 1, arah pertidaksamaan tetap sama saat kita menghilangkan logaritma:
    $x^2+6x+8 > 8$

3.  **Selesaikan pertidaksamaan kuadrat:**
    Pindahkan semua suku ke satu sisi:
    $x^2+6x+8-8 > 0$
    $x^2+6x > 0$

    Faktorkan ekspresi kuadrat:
    $x(x+6) > 0$

    Untuk menentukan kapan ekspresi ini positif, kita cari akar-akarnya:
    $x = 0$ atau $x+6 = 0 
    x = 0$ atau $x = -6$

    Kita bisa menggunakan garis bilangan untuk menentukan daerah solusi. Nilai-nilai kritis adalah -6 dan 0. Uji nilai di setiap interval:
    *   Jika $x < -6$ (misalnya $x = -7$): $(-7)(-7+6) = (-7)(-1) = 7 > 0$ (Benar)
    *   Jika $-6 < x < 0$ (misalnya $x = -3$): $(-3)(-3+6) = (-3)(3) = -9 < 0$ (Salah)
    *   Jika $x > 0$ (misalnya $x = 1$): $(1)(1+6) = (1)(7) = 7 > 0$ (Benar)

    Jadi, solusi awal dari pertidaksamaan kuadrat adalah $x < -6$ atau $x > 0$.

4.  **Perhatikan syarat numerus logaritma:**
    Syarat agar logaritma terdefinisi adalah numerusnya harus positif.
    $x^2+6x+8 > 0$

    Faktorkan ekspresi kuadrat:
    $(x+2)(x+4) > 0$

    Akar-akarnya adalah $x = -2$ dan $x = -4$.
    Menggunakan garis bilangan lagi:
    *   Jika $x < -4$ (misalnya $x = -5$): $(-5+2)(-5+4) = (-3)(-1) = 3 > 0$ (Benar)
    *   Jika $-4 < x < -2$ (misalnya $x = -3$): $(-3+2)(-3+4) = (-1)(1) = -1 < 0$ (Salah)
    *   Jika $x > -2$ (misalnya $x = 0$): $(0+2)(0+4) = (2)(4) = 8 > 0$ (Benar)

    Jadi, syarat numerus adalah $x < -4$ atau $x > -2$.

5.  **Gabungkan solusi:**
    Kita perlu mencari irisan dari solusi pertidaksamaan kuadrat ($x < -6$ atau $x > 0$) dan syarat numerus ($x < -4$ atau $x > -2$).

    *   Irisan dari $x < -6$ dan ($x < -4$ atau $x > -2$):
        Ini adalah $x < -6$.
    *   Irisan dari $x > 0$ dan ($x < -4$ atau $x > -2$):
        Ini adalah $x > 0$.

    Jadi, penyelesaian akhir dari pertidaksamaan tersebut adalah $x < -6$ atau $x > 0$.