Hitunglah lim _(x -> (pi)/(6)) (2 sin x-2 cos x)/(cos 3

Limit tidak terdefinisi.

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2 \sin x - 2 \cos x}{\cos 3x}$, kita dapat langsung substitusikan nilai $x = \frac{\pi}{6}$ jika tidak menghasilkan bentuk tak tentu.

Nilai dari $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Nilai dari $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Nilai dari $3x$ ketika $x = \frac{\pi}{6}$ adalah $3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Nilai dari $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.

Jika kita substitusikan langsung, pembilangnya menjadi $2(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \sqrt{3}$, dan penyebutnya menjadi 0. Ini menghasilkan bentuk $\frac{1 - \sqrt{3}}{0}$, yang menunjukkan bahwa limitnya tidak terdefinisi atau menuju tak hingga. Namun, perlu diperiksa kembali apakah ada kesalahan dalam memahami soal atau apakah ada metode lain yang perlu digunakan (misalnya, aturan L'Hopital jika menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞).

Mari kita coba gunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan $x = \frac{\pi}{6}$, $\cos(3x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Pembilang menjadi $2 \sin(\frac{\pi}{6}) - 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \sqrt{3}$.

Karena pembilang tidak nol saat penyebut nol, maka limit ini menuju tak hingga atau tidak terdefinisi. Namun, jika soalnya dimodifikasi sedikit atau ada kesalahan ketik, hasilnya bisa berbeda.

Asumsikan soalnya benar. Ketika $x$ mendekati $\frac{\pi}{6}$, pembilang mendekati $1 - \sqrt{3}$, yang merupakan bilangan negatif. Penyebut, $\cos(3x)$, ketika $x$ mendekati $\frac{\pi}{6}$ dari sisi yang membuat $3x$ mendekati $\frac{\pi}{2}$ dari nilai yang lebih kecil (misalnya, $x < \frac{\pi}{6}$), $\cos(3x)$ akan positif dan mendekati 0. Jadi, $\frac{negatif}{positif 	o 0}$ akan menuju $-\infty$.

Jika $x$ mendekati $\frac{\pi}{6}$ dari sisi yang membuat $3x$ mendekati $\frac{\pi}{2}$ dari nilai yang lebih besar (misalnya, $x > \frac{\pi}{6}$), $\cos(3x)$ akan negatif dan mendekati 0. Jadi, $\frac{negatif}{negatif 	o 0}$ akan menuju $+\infty$.

Karena limit dari kiri dan kanan berbeda, maka limitnya tidak ada. Namun, jika yang dimaksud adalah nilai dari fungsi di titik tersebut (yang tidak mungkin karena penyebut nol), atau ada kesalahan dalam soal, hasilnya akan berbeda.

Jika kita harus memberikan jawaban numerik, mungkin ada interpretasi lain dari soal. Namun berdasarkan perhitungan langsung dan aturan L'Hopital, limit ini tidak terdefinisi.