Hitunglah limit x menuju tak hingga ((x+5)/(x+3))^(x+6)

Limitnya adalah $e^2$.

Pembahasan

Untuk menghitung limit x menuju tak hingga dari ((x+5)/(x+3))^(x+6), kita dapat menggunakan sifat limit dan manipulasi aljabar.

Limit ini berbentuk $\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{2}{x+3})^{x+6}$.
Kita tahu bahwa $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{a}{n})^n = e^a$.

Mari kita ubah bentuk soal agar sesuai dengan bentuk standar tersebut.
Misalkan $y = ((x+5)/(x+3))^(x+6)$
$\\ln y = (x+6) \\ln((x+5)/(x+3))$
$\\ln y = (x+6) \\ln(1 + 2/(x+3))$

Kita tahu bahwa untuk nilai $u$ yang mendekati 0, $\\ln(1+u) \\approx u$.
Dalam kasus ini, $u = 2/(x+3)$, yang mendekati 0 ketika $x$ menuju tak hingga.
Jadi, $\\ln y \\approx (x+6) * (2/(x+3))$
$\\ln y \\approx (2x+12)/(x+3)$

Sekarang kita hitung limit dari $\\ln y$ ketika x menuju tak hingga:
$\\lim_{x\to\infty} (2x+12)/(x+3)$
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
$\\lim_{x\to\infty} (2 + 12/x)/(1 + 3/x)$
Ketika x menuju tak hingga, 12/x dan 3/x mendekati 0.
$\\lim_{x\to\infty} (2 + 0)/(1 + 0) = 2/1 = 2$

Karena $\\lim_{x\to\infty} \\ln y = 2$, maka $\\lim_{x\to\infty} y = e^2$.

Jadi, limit x menuju tak hingga dari ((x+5)/(x+3))^(x+6) adalah $e^2$.