sin theta/(1+cos theta)+(1+cos theta)/sin theta

Hasil penyederhanaan ekspresi adalah 2 csc theta.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi \(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\), kita dapat menjumlahkan kedua pecahan tersebut dengan menyamakan penyebutnya.

Penyebut bersama adalah \((\sin \theta)(1+\cos \theta)\).

\(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta \cdot \sin \theta}{(1+\cos \theta)\sin \theta} + \frac{(1+\cos \theta)(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

\(= \frac{\sin^2 \theta + (1+\cos \theta)^2}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

Sekarang, kita ekspansi \((1+\cos \theta)^2\):

\((1+\cos \theta)^2 = 1^2 + 2(1)(\cos \theta) + \cos^2 \theta = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta\)

Substitusikan kembali ke dalam ekspresi:

\(= \frac{\sin^2 \theta + 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

Kita tahu identitas trigonometri dasar \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Jadi, kita bisa mengganti \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\) dengan 1:

\(= \frac{( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 + 2\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

\(= \frac{1 + 1 + 2\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

\(= \frac{2 + 2\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

Faktorkan 2 dari pembilang:

\(= \frac{2(1 + \cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}\)

Kita bisa membatalkan \((1+\cos \theta)\) dari pembilang dan penyebut (asumsi \(1+\cos \theta \neq 0\)):

\(= \frac{2}{\sin \theta}\)

Dalam notasi trigonometri, \(\frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta\). Jadi, ekspresi yang disederhanakan adalah \(2 \csc \theta\).