Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva

Luas daerah adalah 10/3.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+3x dan sumbu X pada interval -2 <= x <= 0, kita perlu melakukan integral tentu dari fungsi tersebut pada interval yang diberikan.

Luas = ∫[dari -2 sampai 0] (x^2 + 3x) dx

Langkah-langkah integrasi:
1. Cari antiturunan dari (x^2 + 3x):
   ∫x^2 dx = (1/3)x^3
   ∫3x dx = (3/2)x^2
   Jadi, antiturunan dari (x^2 + 3x) adalah (1/3)x^3 + (3/2)x^2.

2. Terapkan Teorema Dasar Kalkulus dengan batas atas (0) dan batas bawah (-2):
   Luas = [((1/3)x^3 + (3/2)x^2)] dari -2 sampai 0
   Luas = [((1/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2)] - [((1/3)(-2)^3 + (3/2)(-2)^2)]
   Luas = [0 + 0] - [((1/3)(-8) + (3/2)(4))]
   Luas = 0 - [(-8/3 + 12/2)]
   Luas = 0 - [-8/3 + 6]
   Luas = - [-8/3 + 18/3]
   Luas = - [10/3]
   Luas = -10/3

Karena luas tidak mungkin bernilai negatif, ini menunjukkan bahwa sebagian besar area di bawah sumbu X. Untuk mendapatkan luas geometris yang sebenarnya, kita perlu mengambil nilai absolut dari hasil integral, atau memastikan bahwa fungsi diintegrasikan dalam bentuk positif jika kita ingin luas positif.
Namun, jika pertanyaan adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu X, maka nilai integral tentu adalah -10/3. Jika yang dimaksud adalah luas area di bawah sumbu X, maka kita bisa mengalikan hasil dengan -1.

Luas geometris = |-10/3| = 10/3.

Secara grafis, kurva y = x^2 + 3x adalah parabola yang terbuka ke atas dengan akar di x=0 dan x=-3. Pada interval -2 <= x <= 0, kurva berada di bawah sumbu X. Oleh karena itu, hasil integralnya negatif. Luas daerah yang sebenarnya adalah nilai positif dari integral tersebut.