Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-2x dan

Luas daerah adalah \( \frac{64}{3} \) satuan luas.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva \( y = x^2 - 2x \) dan \( y = 6x - x^2 \) pada selang \( [0, 4] \), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Cari titik potong kedua kurva:**
    Setarakan kedua persamaan:
    \( x^2 - 2x = 6x - x^2 \)
    \( 2x^2 - 8x = 0 \)
    \( 2x(x - 4) = 0 \)
    Titik potongnya adalah \( x = 0 \) dan \( x = 4 \).
    Ini berarti kedua kurva berpotongan di batas selang yang diberikan.

2.  **Tentukan kurva mana yang berada di atas pada selang \( [0, 4] \):**
    Ambil sebuah titik uji dalam selang, misalnya \( x = 2 \).
    Untuk \( y = x^2 - 2x \): \( y = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 \)
    Untuk \( y = 6x - x^2 \): \( y = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8 \)
    Karena \( 8 > 0 \), maka kurva \( y = 6x - x^2 \) berada di atas kurva \( y = x^2 - 2x \) pada selang \( (0, 4) \).

3.  **Hitung luas daerah menggunakan integral:**
    Luas daerah \( A \) dihitung dengan mengintegralkan selisih fungsi \( y_{atas} - y_{bawah} \) terhadap \( x \) pada selang yang diberikan.
    \( A = \int_{0}^{4} [(6x - x^2) - (x^2 - 2x)] dx \)
    \( A = \int_{0}^{4} (6x - x^2 - x^2 + 2x) dx \)
    \( A = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) dx \)

4.  **Evaluasi integral:**
    \( A = \left[ \frac{8x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{4} \)
    \( A = \left[ 4x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{4} \)
    Substitusikan batas atas \( x = 4 \):
    \( A = \left( 4(4)^2 - \frac{2(4)^3}{3} \right) \)
    \( A = \left( 4(16) - \frac{2(64)}{3} \right) \)
    \( A = \left( 64 - \frac{128}{3} \right) \)
    Substitusikan batas bawah \( x = 0 \):
    \( A = \left( 4(0)^2 - \frac{2(0)^3}{3} \right) = 0 \)

    Hitung nilai \( A \):
    \( A = 64 - \frac{128}{3} \)
    Samakan penyebutnya:
    \( A = \frac{64 \times 3}{3} - \frac{128}{3} \)
    \( A = \frac{192}{3} - \frac{128}{3} \)
    \( A = \frac{192 - 128}{3} \)
    \( A = \frac{64}{3} \)

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( y = x^2 - 2x \) dan \( y = 6x - x^2 \) pada selang \( [0, 4] \) adalah \( \frac{64}{3} \) satuan luas.