Hitunglah nilai dari lim x->1

1/2

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}, kita dapat melakukan substitusi langsung terlebih dahulu. Jika kita substitusikan x=1, pembilang menjadi $(\sqrt{5-1}-2)(\sqrt{2-1}+1) = (\sqrt{4}-2)(\sqrt{1}+1) = (2-2)(1+1) = 0 \times 2 = 0$. Penyebutnya menjadi $1-1=0$. Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan akar sekawan atau menggunakan aturan L'Hopital.

Menggunakan akar sekawan:
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari $(\sqrt{5-x}-2)$, yaitu $(\sqrt{5-x}+2)$, dan akar sekawan dari $(\sqrt{2-x}+1)$, yaitu $(\sqrt{2-x}-1)$.

\[ \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x} \times \frac{\sqrt{5-x}+2}{\sqrt{5-x}+2} \times \frac{\sqrt{2-x}-1}{\sqrt{2-x}-1} \]

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{((5-x)-4)(\sqrt{2-x}+1)(\sqrt{2-x}-1)}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)(\sqrt{2-x}-1)} \]

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(1-x)(\sqrt{2-x}+1)(\sqrt{2-x}-1)}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)(\sqrt{2-x}-1)} \]

Kita dapat mencoret $(1-x)$ dari pembilang dan penyebut:

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2-x}+1)(\sqrt{2-x}-1)}{(\sqrt{5-x}+2)(\sqrt{2-x}-1)} \]

Sekarang kita kalikan lagi dengan akar sekawan dari $(\sqrt{2-x}-1)$, yaitu $(\sqrt{2-x}+1)$:

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2-x}+1)(\sqrt{2-x}-1)}{(\sqrt{5-x}+2)(\sqrt{2-x}-1)} \times \frac{\sqrt{2-x}+1}{\sqrt{2-x}+1} \]

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2-x}+1)((2-x)-1)}{(\sqrt{5-x}+2)(\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1)} \]

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2-x}+1)(1-x)}{(\sqrt{5-x}+2)(\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1)} \]

Ini masih terlihat rumit. Mari kita coba cara yang lebih langsung dengan mengalikan dengan akar sekawan dari pembilang saja.

Mengalikan dengan akar sekawan dari $(\sqrt{5-x}-2)$:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x} \times \frac{\sqrt{5-x}+2}{\sqrt{5-x}+2} \]

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{((5-x)-4)(\sqrt{2-x}+1)}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)} \]

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(1-x)(\sqrt{2-x}+1)}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)} \]

Kita dapat mencoret $(1-x)$:

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2-x}+1}{\sqrt{5-x}+2} \]

Sekarang substitusikan $x=1$:

\[ = \frac{\sqrt{2-1}+1}{\sqrt{5-1}+2} = \frac{\sqrt{1}+1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1+1}{2+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Jadi, nilai dari \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x} adalah \frac{1}{2}.