Jika limit x->0 f(x)/(x+1)=1/2, tentukan limit x->0

Jawaban bergantung pada interpretasi soal yang mungkin salah ketik. Jika lim x->0 f(x)/x = 1/2, maka limitnya adalah -1. Jika lim x->0 f(x)/(x+1) = 1/2, limitnya tak hingga.

Pembahasan

Diketahui:
lim x->0 f(x)/(x+1) = 1/2

Ini berarti:
f(0) / (0+1) = 1/2
f(0) / 1 = 1/2
f(0) = 1/2

Kita perlu mencari:
lim x->0 f(x) / ((1-x)^1/2 - 1)

Karena f(0) = 1/2, maka f(x) mendekati 1/2 ketika x mendekati 0.

lim x->0 f(x) = 1/2

Sekarang kita substitusikan nilai ini ke dalam limit:

lim x->0 f(x) / ((1-x)^1/2 - 1) = (1/2) / ((1-0)^1/2 - 1)
= (1/2) / (1^1/2 - 1)
= (1/2) / (1 - 1)
= (1/2) / 0

Ini mengarah pada bentuk tak tentu. Kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan aturan L'Hopital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap x):

Turunan dari f(x) adalah f'(x).
Turunan dari (1-x)^1/2 adalah (1/2)(1-x)^(-1/2) * (-1) = -1/2 * (1-x)^(-1/2).

lim x->0 f'(x) / (-1/2 * (1-x)^(-1/2))

Kita tahu dari informasi awal bahwa f(0) = 1/2. Untuk menerapkan L'Hopital, kita perlu mengetahui f'(0). Namun, informasi yang diberikan hanya berkaitan dengan nilai fungsi itu sendiri, bukan turunannya.

Mari kita coba manipulasi aljabar dengan mengalikan sekawan:

lim x->0 [f(x) / ((1-x)^1/2 - 1)] * [(1-x)^1/2 + 1] / [(1-x)^1/2 + 1]
= lim x->0 [f(x) * ((1-x)^1/2 + 1)] / [(1-x) - 1]
= lim x->0 [f(x) * ((1-x)^1/2 + 1)] / (-x)

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
= lim x->0 [f(x) / x] * lim x->0 [(1-x)^1/2 + 1]

Kita tahu lim x->0 f(x)/(x+1) = 1/2. Ini tidak secara langsung memberi kita lim x->0 f(x)/x.

Mari kita perhatikan kembali informasi:
lim x->0 f(x)/(x+1) = 1/2

Kita ingin mencari:
lim x->0 f(x) / ((1-x)^1/2 - 1)

Jika kita asumsikan f(x) = c(x+1) untuk suatu konstanta c, maka lim x->0 c(x+1)/(x+1) = c = 1/2. Jadi f(x) = 1/2 (x+1).

Sekarang substitusikan f(x) = 1/2 (x+1) ke dalam limit yang ditanyakan:

lim x->0 [1/2 (x+1)] / ((1-x)^1/2 - 1)

Kita masih mendapatkan bentuk 1/2 / 0. Ini menunjukkan bahwa asumsi f(x) = c(x+1) mungkin terlalu sederhana atau ada kesalahan dalam pemahaman soal.

Mari kita gunakan fakta bahwa lim x->0 f(x)/(x+1) = 1/2 berarti f(0)=1/2.

Kita cari: lim x->0 f(x) / ((1-x)^1/2 - 1).
Karena penyebut mendekati 0, agar limitnya ada dan bukan tak hingga, pembilang juga harus mendekati 0. Ini berarti f(0) harus 0.

Namun, informasi awal menyatakan f(0) = 1/2.

Mari kita tinjau kembali soalnya. Mungkin ada kesalahan dalam soal atau interpretasinya.

Jika kita asumsikan soalnya adalah: Jika lim x->0 f(x)/x = 1/2, tentukan limit x->0 f(x)/((1-x)^1/2-1).

Dalam kasus ini:
lim x->0 f(x)/x = 1/2 berarti f(0) = 0 (menggunakan L'Hopital atau definisi limit).

lim x->0 f(x) / ((1-x)^1/2 - 1)
Kita bisa kalikan dengan sekawan penyebut:
lim x->0 [f(x) * ((1-x)^1/2 + 1)] / (1-x - 1)
= lim x->0 [f(x) * ((1-x)^1/2 + 1)] / (-x)
= lim x->0 [f(x)/x] * lim x->0 [(1-x)^1/2 + 1] * (-1)
= (1/2) * ( (1-0)^1/2 + 1 ) * (-1)
= (1/2) * (1 + 1) * (-1)
= (1/2) * 2 * (-1)
= 1 * (-1)
= -1

Namun, berdasarkan soal ASLI yang diberikan: lim x->0 f(x)/(x+1)=1/2, maka f(0)=1/2. Dan limit yang dicari menjadi (1/2) / 0, yang tak terdefinisi atau tak hingga.

Jika kita menganggap f(x) = (x+1)/2, maka lim x->0 f(x)/(x+1) = lim x->0 [(x+1)/2]/(x+1) = 1/2. Ini konsisten.

Maka limitnya adalah:
lim x->0 [(x+1)/2] / ((1-x)^1/2 - 1)
= lim x->0 (x+1) / [2 * ((1-x)^1/2 - 1)]
Ketika x->0, pembilang -> 1, penyebut -> 2 * (1 - 1) = 0. Jadi limitnya tak hingga.

Mungkin ada kesalahan pengetikan pada soal. Jika soalnya adalah:
Jika limit x->0 f(x)/x=1/2, tentukan limit x->0 f(x)/((1-x)^1/2-1), jawabannya adalah -1.

Jika soalnya adalah:
Jika limit x->0 f(x)=1/2, tentukan limit x->0 f(x)/((1-x)^1/2-1), jawabannya adalah tak hingga.

Asumsikan soal yang dimaksud adalah yang menghasilkan jawaban terdefinisi, yaitu jika lim x->0 f(x)/x = 1/2.
Dengan asumsi ini:
Limitnya adalah -1.