Hitunglah nilai limit berikut lim tetha->0 tan 5tetha/sin

Nilai limitnya adalah 5/2.

Pembahasan

Untuk menghitung limit 
im_{θ→0} \frac{\tan 5θ}{\sin 2θ}, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit atau mengubah bentuk fungsi.

Cara 1: Menggunakan sifat limit trigonometri dasar:
Kita tahu bahwa \lim_{x→0} \frac{\sin x}{x} = 1 dan \lim_{x→0} \frac{\tan x}{x} = 1.
Kita dapat memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini:


$$ \lim_{θ→0} \frac{\tan 5θ}{\sin 2θ} = \lim_{θ→0} \frac{\tan 5θ}{5θ} \cdot \frac{2θ}{\sin 2θ} \cdot \frac{5θ}{2θ} $$ 

Karena \lim_{θ→0} \frac{\tan 5θ}{5θ} = 1 dan \lim_{θ→0} \frac{2θ}{\sin 2θ} = 1, maka:


$$ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $$

Cara 2: Menggunakan aturan L'Hôpital (karena bentuknya adalah 0/0 saat θ→0):

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap θ:

d/dθ (tan 5θ) = 5 sec²(5θ)
d/dθ (sin 2θ) = 2 cos(2θ)

Maka limitnya menjadi:


$$ \lim_{θ→0} \frac{5 \sec^2(5θ)}{2 \cos(2θ)} $$

Substitusikan θ = 0:


$$ \frac{5 \sec^2(0)}{2 \cos(0)} = \frac{5(1)^2}{2(1)} = \frac{5}{2} $$

Jadi, nilai limitnya adalah 5/2.