Hitunglah nilai turunan masing-masing fungsi trigonometri

Nilai turunannya adalah (2pi - 12*sqrt(3)) / pi^2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai turunan fungsi trigonometri g(theta) = (sec theta) / theta pada theta = pi/6, kita perlu menggunakan aturan kuosien untuk turunan.

Aturan kuosien menyatakan bahwa jika g(x) = f(x) / h(x), maka g'(x) = [f'(x)h(x) - f(x)h'(x)] / [h(x)]^2.

Dalam kasus ini, f(theta) = sec theta dan h(theta) = theta.

Langkah 1: Cari turunan dari f(theta) dan h(theta).
Turunan dari sec theta adalah sec theta * tan theta.
Turunan dari theta adalah 1.
Jadi, f'(theta) = sec theta * tan theta dan h'(theta) = 1.

Langkah 2: Terapkan aturan kuosien.
g'(theta) = [(sec theta * tan theta) * theta - (sec theta) * 1] / (theta)^2
g'(theta) = [theta * sec theta * tan theta - sec theta] / theta^2

Langkah 3: Substitusikan nilai theta = pi/6.
Kita tahu bahwa:
sec(pi/6) = 1 / cos(pi/6) = 1 / (sqrt(3)/2) = 2/sqrt(3)
tan(pi/6) = 1 / sqrt(3)

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam g'(theta):
g'(pi/6) = [(pi/6) * (2/sqrt(3)) * (1/sqrt(3)) - (2/sqrt(3))] / (pi/6)^2
g'(pi/6) = [(pi/6) * (2/3) - (2/sqrt(3))] / (pi^2/36)
g'(pi/6) = [2pi/18 - 2/sqrt(3)] / (pi^2/36)
g'(pi/6) = [pi/9 - 2/sqrt(3)] / (pi^2/36)

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 36:
18 * (pi/9 - 2/sqrt(3)) / pi^2
= (2pi - 36/sqrt(3)) / pi^2
= (2pi - 12*sqrt(3)) / pi^2

Jadi, nilai turunan dari g(theta) = (sec theta) / theta pada theta = pi/6 adalah (2pi - 12*sqrt(3)) / pi^2.