Hitunglah nilai turunan setiap fungsi yang ditunjukkan

Nilai turunan f'(2) adalah 1.

Pembahasan

Untuk mencari nilai turunan f'(2) dari fungsi f(x) = xcos(πx) + sin^2(πx), kita perlu menggunakan aturan turunan.

Fungsi f(x) terdiri dari dua bagian: u(x) = xcos(πx) dan v(x) = sin^2(πx).

1. Turunan bagian pertama, u(x) = xcos(πx):
Kita gunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv'.
Misalkan u = x, maka u' = 1.
Misalkan v = cos(πx), maka v' = -sin(πx) * π = -πsin(πx) (menggunakan aturan rantai).
Jadi, u'(x) = (1) * cos(πx) + x * (-πsin(πx)) = cos(πx) - πxsin(πx).

2. Turunan bagian kedua, v(x) = sin^2(πx):
Kita gunakan aturan rantai.
Misalkan w = sin(πx), maka v(x) = w^2, sehingga v'(x) = 2w * w'.
Untuk w' = d/dx(sin(πx)), kita gunakan aturan rantai lagi.
Misalkan p = πx, maka w = sin(p), sehingga w' = cos(p) * π = πcos(πx).
Jadi, v'(x) = 2 * sin(πx) * (πcos(πx)) = 2πsin(πx)cos(πx) = πsin(2πx).

3. Menggabungkan turunan kedua bagian:
f'(x) = u'(x) + v'(x) = cos(πx) - πxsin(πx) + πsin(2πx).

4. Menghitung f'(2):
Sekarang kita substitusikan x = 2 ke dalam f'(x).
f'(2) = cos(2π) - π(2)sin(2π) + πsin(2π*2)
f'(2) = cos(2π) - 2πsin(2π) + πsin(4π)

Kita tahu bahwa cos(2π) = 1, sin(2π) = 0, dan sin(4π) = 0.

f'(2) = 1 - 2π(0) + π(0)
f'(2) = 1 - 0 + 0
f'(2) = 1

Jadi, nilai turunan f'(2) adalah 1.