Hitunglah setiap limit berikut ini. limit x-> 0 (1-cos

1/8

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} (1-\cos x)\cot^2 2x$, kita bisa menggunakan beberapa langkah:

1. **Ubah bentuk cotangent:** Ingat bahwa $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$. Jadi, $\cot^2 2x = \frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x}$.

2. **Substitusi identitas trigonometri:** Gunakan identitas $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ dan $\sin \theta \approx \theta$ untuk $\theta$ yang kecil (mendekati 0). Untuk $\sin 2x$, kita bisa gunakan $\sin 2x \approx 2x$ saat $x \to 0$.

3. **Substitusi dan penyederhanaan:**

   $$\lim_{x \to 0} (1-\cos x)\cot^2 2x = \lim_{x \to 0} (2\sin^2(\frac{x}{2})) \frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x}$$

   Karena $x \to 0$, maka $\frac{x}{2} \to 0$. Kita bisa gunakan $\sin(\frac{x}{2}) \approx \frac{x}{2}$. Juga, $\sin 2x \approx 2x$ dan $\cos 0 = 1$. Maka $\cos^2 2x \to 1^2 = 1$.

   $$\lim_{x \to 0} (2(\frac{x}{2})^2) \frac{1}{(2x)^2} = \lim_{x \to 0} (2\frac{x^2}{4}) \frac{1}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2} \frac{1}{4x^2}$$ 

   $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{8x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{8}$$ 

   Jadi, limitnya adalah $\frac{1}{8}$.

**Jawaban Singkat:** $\frac{1}{8}$