Hitunglah setiap limit berikut. limit x->0

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos(2x)}}{\sin^2(x)}$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat limit.

Identitas yang relevan:
1. $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$
2. $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$
3. $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Gunakan identitas $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ untuk menyederhanakan $\sqrt{1+\cos(2x)}$:
$1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2(x) - 1) = 2\cos^2(x)$
Jadi, $\sqrt{1+\cos(2x)} = \sqrt{2\cos^2(x)} = \sqrt{2} |\cos(x)|$.
Karena $x \to 0$, $\cos(x)$ positif, sehingga $\sqrt{1+\cos(2x)} = \sqrt{2} \cos(x)$.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos(x)}{\sin^2(x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{\sin^2(x)}$

Gunakan identitas $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$:
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{1 - \cos^2(x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))}$

Batalkan $(1 - \cos(x))$ (karena $x \neq 0$, maka $1 - \cos(x) \neq 0$):
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}}{1 + \cos(x)}$

Sekarang, substitusikan $x = 0$:
$= \frac{\sqrt{2}}{1 + \cos(0)}$
$= \frac{\sqrt{2}}{1 + 1}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}$

Alternatif menggunakan identitas $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos(2x)}}{\sin^2(x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2 \cos^2(x)}}{(\frac{1 - \cos(2x)}{2})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{(\frac{1 - \cos(2x)}{2})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{1 - \cos(2x)}$
Kita tahu bahwa $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{2\sin^2(x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos(x))}{\sin^2(x)}$
Ini kembali ke bentuk sebelumnya. Menggunakan $1 - \cos(x) \approx \frac{x^2}{2}$ dan $\sin(x) \approx x$ untuk $x \to 0$:
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}(x^2/2)}{x^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Hasil dari limit tersebut adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$.