Hitunglah setiap nilai limit berikut.a. limit x mendekati 0

a. Limit tidak ada (menuju tak hingga), b. -2

Pembahasan

Untuk menghitung setiap nilai limit berikut:

a. limit x mendekati 0 (x^2+10x)/(x^3+2x^2)
Substitusi langsung x=0 ke dalam persamaan:
(0^2 + 10*0) / (0^3 + 2*0^2) = 0/0
Ini adalah bentuk tak tentu, jadi kita perlu menyederhanakan ekspresi dengan memfaktorkan.
Faktorkan x dari pembilang dan x^2 dari penyebut:
= x(x+10) / x^2(x+2)
Batalkan satu faktor x:
= (x+10) / x(x+2)
Sekarang substitusi kembali x=0:
= (0+10) / 0(0+2) = 10 / 0
Ketika penyebut mendekati 0 dan pembilangnya bukan 0, limitnya adalah tak hingga (atau minus tak hingga, tergantung tanda).
Dalam kasus ini, karena x mendekati 0, x bisa positif atau negatif. Jika x mendekati 0 dari sisi positif, penyebutnya positif, sehingga limitnya +tak hingga. Jika x mendekati 0 dari sisi negatif, penyebutnya negatif, sehingga limitnya -tak hingga. Oleh karena itu, limitnya tidak ada.

Namun, jika soalnya dimaksudkan \"limit x mendekati tak hingga\" atau jika ada kesalahan penulisan pada soal, penyelesaiannya akan berbeda.
Jika kita asumsikan ada kesalahan dan maksudnya adalah membatalkan faktor yang menyebabkan 0/0:
Jika kita membagi pembilang dan penyebut dengan x:
(x+10)/(x^2+2x)
Limit x->0 (x+10)/(x^2+2x) = 10/0, yang menuju tak hingga.

Mari kita periksa lagi soalnya. Kemungkinan ada faktor yang bisa dibatalkan sehingga limitnya ada. Jika kita memfaktorkan:\n(x(x+10))/(x^2(x+2)) = (x+10)/(x(x+2))
Ketika x mendekati 0, pembilang mendekati 10, penyebut mendekati 0. Jadi limitnya adalah tak hingga.

b. lim x mendekati 0 (x sqrt(x)+sqrt(x)+2 (x)^(1/3))/(x^2 sqrt(x)+x sqrt(x)-(x)^(1/3))

Ini adalah bentuk limit dengan pangkat pecahan. Kita perlu mencari pangkat terendah dari x di seluruh ekspresi. Pangkatnya adalah 1/3.
Mari kita tulis ulang: x^(3/2) = x sqrt(x) dan x^(1/3).

Ekspresi: (x^(3/2) + x^(1/2) + 2x^(1/3)) / (x^(5/2) + x^(3/2) - x^(1/3))

Pangkat terendah adalah x^(1/3). Mari kita bagi setiap suku dengan x^(1/3).

(x^(3/2)/x^(1/3) + x^(1/2)/x^(1/3) + 2x^(1/3)/x^(1/3)) / (x^(5/2)/x^(1/3) + x^(3/2)/x^(1/3) - x^(1/3)/x^(1/3))

Hitung pangkatnya:
3/2 - 1/3 = 9/6 - 2/6 = 7/6
1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6
1/3 - 1/3 = 0
5/2 - 1/3 = 15/6 - 2/6 = 13/6
3/2 - 1/3 = 9/6 - 2/6 = 7/6
1/3 - 1/3 = 0

Jadi ekspresinya menjadi:
(x^(7/6) + x^(1/6) + 2) / (x^(13/6) + x^(7/6) - 1)

Sekarang substitusi x=0:
(0^(7/6) + 0^(1/6) + 2) / (0^(13/6) + 0^(7/6) - 1)
= (0 + 0 + 2) / (0 + 0 - 1)
= 2 / -1
= -2

Jadi, hasil untuk b adalah -2.

Kesimpulan:
a. Limit tidak ada (menuju tak hingga).
b. -2

Metadata:
Grades: 11, 12
Chapters: Kalkulus
Topics: Limit Fungsi
Sections: Limit Fungsi Trigonometri dan Pangkat