If a=(1+cosx)/sinx, find sinx and cosx in terms of a.

sinx = 2a / (a^2 + 1) dan cosx = (a^2 - 1) / (a^2 + 1)

Pembahasan

Diberikan a = (1 + cosx) / sinx. Kita ingin mencari sinx dan cosx dalam bentuk a.
Kita tahu identitas trigonometri dasar: sin^2 x + cos^2 x = 1.
Dari persamaan yang diberikan, kita dapat mengekspresikan (1 + cosx) sebagai a * sinx:
1 + cosx = a * sinx

Sekarang, kita bisa gunakan identitas tangen setengah sudut. Ingat bahwa tan(x/2) = sinx / (1 + cosx).
Jadi, jika a = (1 + cosx) / sinx, maka 1/a = sinx / (1 + cosx).
Ini berarti tan(x/2) = 1/a.

Dengan menggunakan identitas tan(x/2) = sinx / (1 + cosx) dan tan(x/2) = (1 - cosx) / sinx, kita punya:
1/a = sinx / (1 + cosx)

Kita juga bisa gunakan identitas:
1 - cosx = 2 sin^2(x/2)
1 + cosx = 2 cos^2(x/2)
sinx = 2 sin(x/2) cos(x/2)

Maka, a = (2 cos^2(x/2)) / (2 sin(x/2) cos(x/2)) = cos(x/2) / sin(x/2) = cot(x/2).
Jika a = cot(x/2), maka tan(x/2) = 1/a.

Sekarang kita gunakan rumus untuk sinx dan cosx dalam bentuk tan(x/2):
sinx = (2 tan(x/2)) / (1 + tan^2(x/2))
cosx = (1 - tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2))

Substitusikan tan(x/2) = 1/a:
sinx = (2 * (1/a)) / (1 + (1/a)^2)
sinx = (2/a) / (1 + 1/a^2)
sinx = (2/a) / ((a^2 + 1) / a^2)
sinx = (2/a) * (a^2 / (a^2 + 1))
sinx = 2a / (a^2 + 1)

cosx = (1 - (1/a)^2) / (1 + (1/a)^2)
cosx = (1 - 1/a^2) / (1 + 1/a^2)
cosx = ((a^2 - 1) / a^2) / ((a^2 + 1) / a^2)
cosx = (a^2 - 1) / (a^2 + 1)