Iimit a mendekati 0 [(cos (m alpha) - cos (n

(n^2 - m^2) / 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor untuk cos(x). Menggunakan aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap alpha:

Limit a mendekati 0 [d/dα (cos(mα) - cos(nα)) / d/dα (α^2)]
= Limit a mendekati 0 [-m sin(mα) - (-n sin(nα)) / 2α]
= Limit a mendekati 0 [(-m sin(mα) + n sin(nα)) / 2α]

Karena bentuknya masih 0/0, kita terapkan aturan L'Hopital lagi:
= Limit a mendekati 0 [d/dα (-m sin(mα) + n sin(nα)) / d/dα (2α)]
= Limit a mendekati 0 [-m^2 cos(mα) + n^2 cos(nα) / 2]

Substitusikan α = 0:
= (-m^2 cos(0) + n^2 cos(0)) / 2
= (-m^2 * 1 + n^2 * 1) / 2
= (n^2 - m^2) / 2

Jadi, limit a mendekati 0 [(cos(mα) - cos(nα))/α^2] adalah (n^2 - m^2) / 2.