Jika cosec theta=4/3, maka nilai tan theta=

Nilai tan theta adalah 3√7 / 7.

Pembahasan

Diketahui cosec θ = 4/3. Kita tahu bahwa cosec θ adalah kebalikan dari sin θ, jadi sin θ = 3/4.

Untuk mencari nilai tan θ, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau membangun segitiga siku-siku.

Menggunakan segitiga siku-siku:
Misalkan cosec θ = hipotenusa / sisi depan = 4/3.
Jadi, sisi depan = 3 dan hipotenusa = 4.
Kita bisa mencari sisi samping menggunakan teorema Pythagoras: sisi samping^2 + sisi depan^2 = hipotenusa^2.
sisi samping^2 + 3^2 = 4^2.
sisi samping^2 + 9 = 16.
sisi samping^2 = 16 - 9.
sisi samping^2 = 7.
sisi samping = √7.

Sekarang kita bisa mencari tan θ, yang didefinisikan sebagai sisi depan / sisi samping.
tan θ = 3 / √7.
Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan √7/√7:
tan θ = (3 * √7) / (√7 * √7) = 3√7 / 7.

Alternatif menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu sin θ = 3/4.
Kita juga tahu sin^2 θ + cos^2 θ = 1.
(3/4)^2 + cos^2 θ = 1.
9/16 + cos^2 θ = 1.
cos^2 θ = 1 - 9/16.
cos^2 θ = 16/16 - 9/16.
cos^2 θ = 7/16.
cos θ = ±√(7/16) = ±√7 / 4.

Karena cosec θ = 4/3 positif, maka θ berada di kuadran I atau II. Jika θ di kuadran I, cos θ positif (√7/4). Jika θ di kuadran II, cos θ negatif (-√7/4).

tan θ = sin θ / cos θ.
Jika cos θ = √7 / 4, maka tan θ = (3/4) / (√7/4) = 3/√7 = 3√7 / 7.
Jika cos θ = -√7 / 4, maka tan θ = (3/4) / (-√7/4) = -3/√7 = -3√7 / 7.

Namun, jika cosec θ = 4/3, dan kita mengasumsikan θ adalah sudut lancip (dalam kuadran I), maka tan θ positif.