integral 0 2 (x^2+3x)/(akar(x+2)) dx=...

Hasil integralnya adalah $\frac{56\sqrt{2}-8}{15}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int_0^2 \frac{x^2+3x}{\sqrt{x+2}} dx$, kita dapat menggunakan substitusi.

Misalkan $u = x+2$, maka $du = dx$. Dari sini, $x = u-2$ dan $x^2 = (u-2)^2 = u^2 - 4u + 4$.

Substitusikan ke dalam integral:
$

\int \frac{(u-2)^2 + 3(u-2)}{\sqrt{u}} du

= \int \frac{u^2 - 4u + 4 + 3u - 6}{\sqrt{u}} du

= \int \frac{u^2 - u - 2}{u^{1/2}} du

= \int (u^{3/2} - u^{1/2} - 2u^{-1/2}) du

Sekarang, kita integralkan terhadap u:

= \frac{u^{5/2}}{5/2} - \frac{u^{3/2}}{3/2} - 2\frac{u^{1/2}}{1/2} + C

= \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} - 4u^{1/2} + C

Kembalikan ke x, dengan $u = x+2$:

= \frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} - 4(x+2)^{1/2} + C

Sekarang, kita hitung integral tentu dari 0 sampai 2:

[ \frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} - 4(x+2)^{1/2} ]_0^2

Evaluasi pada batas atas (x=2):

= \frac{2}{5}(2+2)^{5/2} - \frac{2}{3}(2+2)^{3/2} - 4(2+2)^{1/2}

= \frac{2}{5}(4)^{5/2} - \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 4(4)^{1/2}

= \frac{2}{5}(32) - \frac{2}{3}(8) - 4(2)

= \frac{64}{5} - \frac{16}{3} - 8

= \frac{192 - 80 - 120}{15}

= \frac{-8}{15}

Evaluasi pada batas bawah (x=0):

= \frac{2}{5}(0+2)^{5/2} - \frac{2}{3}(0+2)^{3/2} - 4(0+2)^{1/2}

= \frac{2}{5}(2)^{5/2} - \frac{2}{3}(2)^{3/2} - 4(2)^{1/2}

= \frac{2}{5}(4\sqrt{2}) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2}

= \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2}

= \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} - 60\sqrt{2}}{15}

= \frac{-56\sqrt{2}}{15}

Kurangkan hasil batas bawah dari hasil batas atas:

= \frac{-8}{15} - (\frac{-56\sqrt{2}}{15})

= \frac{-8 + 56\sqrt{2}}{15}

Namun, mari kita cek kembali perhitungan. Terdapat kesalahan dalam konversi akar kuadrat. Mari kita gunakan cara yang lebih sederhana jika memungkinkan atau periksa kembali substitusi.

Mari kita coba substitusi lain atau perhatikan bentuknya. Dengan $u = \sqrt{x+2}$, maka $u^2 = x+2$, $x = u^2-2$, dan $dx = 2u du$.

Batas integral:
Jika $x=0$, $u=\sqrt{2}$.
Jika $x=2$, $u=\sqrt{4}=2$.

$x^2+3x = (u^2-2)^2 + 3(u^2-2) = u^4 - 4u^2 + 4 + 3u^2 - 6 = u^4 - u^2 - 2$

Integral menjadi:
$

\int_{\sqrt{2}}^2 \frac{u^4 - u^2 - 2}{u} (2u du)

= \int_{\sqrt{2}}^2 2(u^4 - u^2 - 2) du

= 2 \int_{\sqrt{2}}^2 (u^4 - u^2 - 2) du

= 2 [\frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} - 2u]_{\sqrt{2}}^2

Evaluasi pada batas atas (u=2):

= 2 [\frac{2^5}{5} - \frac{2^3}{3} - 2(2)]

= 2 [\frac{32}{5} - \frac{8}{3} - 4]

= 2 [\frac{96 - 40 - 60}{15}]

= 2 [\frac{-4}{15}]

= -\frac{8}{15}

Evaluasi pada batas bawah (u=\sqrt{2}):

= 2 [\frac{(\sqrt{2})^5}{5} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - 2(\sqrt{2})]

= 2 [\frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}]

= 2 [\frac{12\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 30\sqrt{2}}{15}]

= 2 [\frac{-28\sqrt{2}}{15}]

= -\frac{56\sqrt{2}}{15}

Kurangkan hasil batas bawah dari hasil batas atas:

= -\frac{8}{15} - (-\frac{56\sqrt{2}}{15})

= \frac{-8 + 56\sqrt{2}}{15}

Ini adalah hasil yang sama, yang menunjukkan bahwa perhitungan dengan substitusi pertama mungkin benar meskipun tampak rumit. Mari kita cek kembali pertanyaan dan konteksnya, karena soal integral ini tampak cukup kompleks untuk tingkat umum.

Jika kita perhatikan soalnya, ada kemungkinan terdapat kesalahan ketik atau soal ini memang ditujukan untuk tingkat yang lebih tinggi.

Asumsikan perhitungannya benar, maka hasil integralnya adalah $\frac{56\sqrt{2}-8}{15}$.

Namun, jika kita diminta untuk memberikan jawaban yang lebih sederhana atau jika ada metode lain yang lebih mudah, itu akan bergantung pada konteks materi yang diajarkan.

Mari kita coba dekomposisi atau metode lain jika memungkinkan.

Kembali ke substitusi u = x+2:
Integral = $\frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} - 4(x+2)^{1/2}$

Evaluasi dari 0 hingga 2:
Batas atas (x=2): $\frac{2}{5}(4)^{5/2} - \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 4(4)^{1/2} = \frac{2}{5}(32) - \frac{2}{3}(8) - 4(2) = \frac{64}{5} - \frac{16}{3} - 8 = \frac{192 - 80 - 120}{15} = \frac{-8}{15}$

Batas bawah (x=0): $\frac{2}{5}(2)^{5/2} - \frac{2}{3}(2)^{3/2} - 4(2)^{1/2} = \frac{2}{5}(4\sqrt{2}) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2} = \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} - 60\sqrt{2}}{15} = \frac{-56\sqrt{2}}{15}$

Hasil = (Batas atas) - (Batas bawah) = $\frac{-8}{15} - (\frac{-56\sqrt{2}}{15}) = \frac{56\sqrt{2}-8}{15}$

Jawaban ini konsisten. Kemungkinan soal ini memang kompleks.