integral 0 5 f(x) dx , where f(x)={10 if x<= 2 3x^2 - 2 if

131

Pembahasan

Untuk menghitung integral dari fungsi $f(x)$ dari 0 sampai 5, di mana $f(x)$ didefinisikan secara piecewise:
$f(x) = \begin{cases} 10 & \text{if } x \le 2 \\ 3x^2 - 2 & \text{if } x > 2 \end{cases}$

Kita perlu memecah integral menjadi dua bagian berdasarkan definisi fungsi $f(x)$. Batas integral adalah dari 0 sampai 5. Fungsi berubah definisi pada $x=2$.

Jadi, integralnya dapat ditulis sebagai:
$\\int_{0}^{5} f(x) dx = \\int_{0}^{2} f(x) dx + \\int_{2}^{5} f(x) dx$

Untuk bagian pertama, dari 0 sampai 2, $f(x) = 10$:
$\\int_{0}^{2} 10 dx$
Menghitung integralnya:
$[10x]_{0}^{2} = 10(2) - 10(0) = 20 - 0 = 20$

Untuk bagian kedua, dari 2 sampai 5, $f(x) = 3x^2 - 2$:
$\\int_{2}^{5} (3x^2 - 2) dx$
Menghitung integralnya:
$[\\frac{3x^3}{3} - 2x]_{2}^{5} = [x^3 - 2x]_{2}^{5}$
Sekarang substitusikan batas atas dan batas bawah:
$(5^3 - 2(5)) - (2^3 - 2(2))$
$(125 - 10) - (8 - 4)$
$115 - 4$
$111$

Sekarang, jumlahkan hasil dari kedua bagian integral:
Total Integral = $\\int_{0}^{2} f(x) dx + \\int_{2}^{5} f(x) dx$
Total Integral = $20 + 111$
Total Integral = $131$

Jadi, nilai dari integral $\\int_{0}^{5} f(x) dx$ adalah 131.