integral 3 2 (x^2-4x+4)^4/3 dx=...

Nilai integralnya adalah 3/11.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int_{2}^{3} \left(x^2 - 4x + 4\right)^{4/3} dx$, pertama-tama kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam integral. Perhatikan bahwa $x^2 - 4x + 4$ adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu $(x-2)^2$.

Maka, integralnya menjadi:
$\int_{2}^{3} ((x-2)^2)^{4/3} dx$
$\int_{2}^{3} (x-2)^{8/3} dx$

Sekarang kita bisa mencari antiturunan dari $(x-2)^{8/3}$.
Kita gunakan aturan pangkat untuk integrasi: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
Dalam kasus ini, $u = x-2$ dan $n = 8/3$.
Maka, $n+1 = 8/3 + 1 = 8/3 + 3/3 = 11/3$.

Antiturunannya adalah $\frac{(x-2)^{11/3}}{11/3} = \frac{3}{11}(x-2)^{11/3}$.

Sekarang kita evaluasi antiturunan ini pada batas atas (3) dan batas bawah (2):

$\\left[ \frac{3}{11}(x-2)^{11/3} \right]_{2}^{3}$

= $\frac{3}{11}(3-2)^{11/3} - \frac{3}{11}(2-2)^{11/3}$

= $\frac{3}{11}(1)^{11/3} - \frac{3}{11}(0)^{11/3}$

= $\frac{3}{11}(1) - \frac{3}{11}(0)$

= $\frac{3}{11} - 0$

= $\frac{3}{11}$

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah $\frac{3}{11}$.