integral 4 sin^2 2x cos x dx=......

$2\sin(x) - \frac{1}{3}\sin(3x) - \frac{1}{5}\sin(5x) + C$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int 4 \sin^2(2x) \cos(x) dx$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan teknik integrasi. Identitas yang dapat digunakan adalah $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$. Maka, $\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$. Integral menjadi $\int 4 \left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) \cos(x) dx = \int 2(1 - \cos(4x)) \cos(x) dx = \int (2\cos(x) - 2\cos(4x)\cos(x)) dx$. Kita gunakan identitas perkalian ke penjumlahan: $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$. Maka, $2\cos(4x)\cos(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(4x-x) + \cos(4x+x)) = \cos(3x) + \cos(5x)$. Integral menjadi $\int (2\cos(x) - \cos(3x) - \cos(5x)) dx$. Sekarang kita integralkan setiap suku: $\int 2\cos(x) dx = 2\sin(x)$. $\int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$. $\int \cos(5x) dx = \frac{1}{5}\sin(5x)$. Jadi, hasil integralnya adalah $2\sin(x) - \frac{1}{3}\sin(3x) - \frac{1}{5}\sin(5x) + C$.