integral (5x^2+1)akar(5x^3+3x-2) dx Misalkan u=5x^3+3x-2

Hasil integralnya adalah (2/9) (5x^3 + 3x - 2)^(3/2) + C.

Pembahasan

Kita diminta untuk menyelesaikan integral dari (5x^2+1)akar(5x^3+3x-2) dx dengan menggunakan substitusi u = 5x^3 + 3x - 2.

Langkah 1: Cari turunan dari u terhadap x.
du/dx = d/dx (5x^3 + 3x - 2)
du/dx = 15x^2 + 3

Langkah 2: Ubah du/dx menjadi bentuk du.
du = (15x^2 + 3) dx

Langkah 3: Manipulasi bentuk du agar sesuai dengan bagian (5x^2+1) dx pada integral.
Kita bisa mengeluarkan faktor 3 dari (15x^2 + 3):
du = 3(5x^2 + 1) dx

Langkah 4: Ubah bagian (5x^2 + 1) dx pada integral menjadi bentuk yang melibatkan du.
(5x^2 + 1) dx = (1/3) du

Langkah 5: Substitusikan u dan (1/3) du ke dalam integral awal.
Integral (5x^2+1)akar(5x^3+3x-2) dx = Integral (1/3) akar(u) du

Langkah 6: Selesaikan integral.
Integral (1/3) u^(1/2) du = (1/3) * [u^((1/2)+1) / ((1/2)+1)] + C
= (1/3) * [u^(3/2) / (3/2)] + C
= (1/3) * (2/3) u^(3/2) + C
= (2/9) u^(3/2) + C

Langkah 7: Ganti kembali u dengan ekspresi aslinya (5x^3 + 3x - 2).
Hasilnya adalah: (2/9) (5x^3 + 3x - 2)^(3/2) + C