Interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (5

Interval nilai x yang memenuhi adalah $(-\infty, -2) \cup [2, 3]$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional $\frac{5x - x^2 - 6}{x+2} \geq 0$, kita perlu mencari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut, lalu mengujinya pada garis bilangan.

Pembilang: $-x^2 + 5x - 6$
Untuk mencari pembuat nol, kita atur pembilang sama dengan nol:
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
Kalikan dengan -1 agar koefisien $x^2$ positif:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x - 2)(x - 3) = 0$
Jadi, pembuat nol dari pembilang adalah $x=2$ dan $x=3$.

Penyebut: $x+2$
Untuk mencari pembuat nol, kita atur penyebut sama dengan nol:
$x+2 = 0$
Jadi, pembuat nol dari penyebut adalah $x=-2$.
Penting diingat bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga $x \neq -2$.

Sekarang kita punya tiga titik penting pada garis bilangan: -2, 2, dan 3. Titik -2 tidak termasuk dalam penyelesaian karena membuat penyebut nol.

Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik ini:

1. Interval $x < -2$: Pilih $x = -3$
   $\frac{5(-3) - (-3)^2 - 6}{-3+2} = \frac{-15 - 9 - 6}{-1} = \frac{-30}{-1} = 30 \geq 0$ (Benar)

2. Interval $-2 < x \leq 2$: Pilih $x = 0$
   $\frac{5(0) - (0)^2 - 6}{0+2} = \frac{-6}{2} = -3 \geq 0$ (Salah)

3. Interval $2 \leq x \leq 3$: Pilih $x = 2.5$
   $\frac{5(2.5) - (2.5)^2 - 6}{2.5+2} = \frac{12.5 - 6.25 - 6}{4.5} = \frac{0.25}{4.5} \geq 0$ (Benar)

4. Interval $x > 3$: Pilih $x = 4$
   $\frac{5(4) - (4)^2 - 6}{4+2} = \frac{20 - 16 - 6}{6} = \frac{-2}{6} \geq 0$ (Salah)

Karena pertidaksamaan adalah '$\\geq 0$', maka interval di mana hasilnya positif atau nol yang kita ambil. Titik x=2 dan x=3 termasuk dalam penyelesaian karena membuat pembilang nol (hasilnya 0), sedangkan x=-2 tidak termasuk karena membuat penyebut nol.

Jadi, interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x < -2$ atau $2 \leq x \leq 3$.
Dalam notasi interval: $(-\infty, -2) \cup [2, 3]$.