Invers dari matriks A=(2 4 6 1 3 5 2 3 5) adalah ....

[[0, -1, 1], [2.5, -1, -2], [-1.5, 1, 1]]

Pembahasan

Untuk mencari invers dari sebuah matriks 3x3, kita perlu menggunakan beberapa langkah, termasuk mencari determinan matriks dan matriks adjoinnya.

Matriks A diberikan sebagai:
A = 
| 2  4  6 |
| 1  3  5 |
| 2  3  5 |

Langkah 1: Hitung Determinan Matriks A (det(A)).
det(A) = 2 * (3*5 - 5*3) - 4 * (1*5 - 5*2) + 6 * (1*3 - 3*2)
det(A) = 2 * (15 - 15) - 4 * (5 - 10) + 6 * (3 - 6)
det(A) = 2 * (0) - 4 * (-5) + 6 * (-3)
det(A) = 0 + 20 - 18
det(A) = 2

Karena determinannya tidak nol (det(A) = 2), maka matriks A memiliki invers.

Langkah 2: Cari Matriks Kofaktor.
Matriks kofaktor diperoleh dengan menghitung kofaktor dari setiap elemen matriks A.

Kofaktor C_ij = (-1)^(i+j) * M_ij, di mana M_ij adalah minor dari elemen a_ij.

M_11 = det(
| 3  5 |
| 3  5 |
) = 3*5 - 5*3 = 15 - 15 = 0
C_11 = (-1)^(1+1) * 0 = 0

M_12 = det(
| 1  5 |
| 2  5 |
) = 1*5 - 5*2 = 5 - 10 = -5
C_12 = (-1)^(1+2) * (-5) = (-1) * (-5) = 5

M_13 = det(
| 1  3 |
| 2  3 |
) = 1*3 - 3*2 = 3 - 6 = -3
C_13 = (-1)^(1+3) * (-3) = (1) * (-3) = -3

M_21 = det(
| 4  6 |
| 3  5 |
) = 4*5 - 6*3 = 20 - 18 = 2
C_21 = (-1)^(2+1) * 2 = (-1) * 2 = -2

M_22 = det(
| 2  6 |
| 2  5 |
) = 2*5 - 6*2 = 10 - 12 = -2
C_22 = (-1)^(2+2) * (-2) = (1) * (-2) = -2

M_23 = det(
| 2  4 |
| 2  3 |
) = 2*3 - 4*2 = 6 - 8 = -2
C_23 = (-1)^(2+3) * (-2) = (-1) * (-2) = 2

M_31 = det(
| 4  6 |
| 3  5 |
) = 4*5 - 6*3 = 20 - 18 = 2
C_31 = (-1)^(3+1) * 2 = (1) * 2 = 2

M_32 = det(
| 2  6 |
| 1  5 |
) = 2*5 - 6*1 = 10 - 6 = 4
C_32 = (-1)^(3+2) * 4 = (-1) * 4 = -4

M_33 = det(
| 2  4 |
| 1  3 |
) = 2*3 - 4*1 = 6 - 4 = 2
C_33 = (-1)^(3+3) * 2 = (1) * 2 = 2

Matriks Kofaktor:
C = 
|  0   5  -3 |
| -2  -2   2 |
|  2  -4   2 |

Langkah 3: Cari Matriks Adjoin (Adj(A)).
Matriks adjoin adalah transpose dari matriks kofaktor.
Adj(A) = C^T
Adj(A) = 
|  0  -2   2 |
|  5  -2  -4 |
| -3   2   2 |

Langkah 4: Hitung Invers Matriks A (A^-1).
Invers matriks A adalah (1/det(A)) * Adj(A).
A^-1 = (1/2) * Adj(A)
A^-1 = (1/2) * 
|  0  -2   2 |
|  5  -2  -4 |
| -3   2   2 |

A^-1 = 
| 0/2  -2/2   2/2 |
| 5/2  -2/2  -4/2 |
| -3/2   2/2   2/2 |

A^-1 = 
|  0  -1   1 |
| 5/2  -1  -2 |
| -3/2   1   1 |

Jadi, invers dari matriks A adalah:
|  0  -1   1 |
| 5/2  -1  -2 |
| -3/2   1   1 |

Ditulis dalam format baris: (0 -1 1; 5/2 -1 -2; -3/2 1 1).