Jika 0 < a < b < 1 < c < d, susunlah logaritma berikut

Urutan nilai logaritma bergantung pada basis dan argumennya. Untuk basis > 1, fungsi naik; untuk 0 < basis < 1, fungsi turun. Nilai a, b < 1 dan c, d > 1.

Pembahasan

Untuk membandingkan nilai logaritma, kita perlu memperhatikan basis logaritma dan argumennya.

Kondisi yang diberikan: 0 < a < b < 1 < c < d

Bagian a: 2 log a, 2 log b, 2 log 1, 2 log c, 2 log d
Karena basisnya (2) lebih besar dari 1, fungsi logaritma adalah fungsi naik. Oleh karena itu, urutan nilai logaritma sama dengan urutan argumennya.
Karena a < b < 1 < c < d, maka 2 log a < 2 log b < 2 log 1 < 2 log c < 2 log d.
Nilai 2 log 1 = 0.
Jadi, urutannya: 2 log a, 2 log b, 2 log 1, 2 log c, 2 log d.

Bagian b: 1/2 log a, 1/2 log b, 1/2 log 1, 1/2 log c, 1/2 log d
Karena basisnya (1/2) antara 0 dan 1, fungsi logaritma adalah fungsi turun. Oleh karena itu, urutan nilai logaritma berlawanan dengan urutan argumennya.
Karena a < b < 1 < c < d, maka 1/2 log a > 1/2 log b > 1/2 log 1 > 1/2 log c > 1/2 log d.
Nilai 1/2 log 1 = 0.
Jadi, urutannya: 1/2 log a, 1/2 log b, 1/2 log 1, 1/2 log c, 1/2 log d.

Bagian c: 2 log a, 2 log b, 3 log a, 3 log b
Kita tahu 0 < a < b < 1. 
Untuk basis 2: 2 log a < 2 log b (karena 2 > 1 dan a < b).
Untuk basis 3: 3 log a < 3 log b (karena 3 > 1 dan a < b).
Perbandingan antara 2 log a dan 3 log a (dengan 0 < a < 1): Karena basisnya (2 dan 3) lebih besar dari 1, dan argumennya (a) kurang dari 1, kedua logaritma bernilai negatif. Semakin besar basisnya, semakin kecil (lebih negatif) nilainya. Jadi, 3 log a < 2 log a.
Perbandingan antara 2 log b dan 3 log b (dengan 0 < b < 1): Sama seperti di atas, 3 log b < 2 log b.
Menggabungkan semua: 3 log a < 2 log a < 3 log b < 2 log b.

Bagian d: 1/2 log a, 1/2 log b, 1/3 log a, 1/3 log b
Kita tahu 0 < a < b < 1. 
Untuk basis 1/2: 1/2 log a > 1/2 log b (karena 0 < 1/2 < 1 dan a < b).
Untuk basis 1/3: 1/3 log a > 1/3 log b (karena 0 < 1/3 < 1 dan a < b).
Perbandingan antara 1/2 log a dan 1/3 log a (dengan 0 < a < 1): Karena basisnya (1/2 dan 1/3) antara 0 dan 1, dan argumennya (a) kurang dari 1, kedua logaritma bernilai positif. Semakin besar basisnya, semakin kecil nilainya. Jadi, 1/3 log a < 1/2 log a.
Perbandingan antara 1/2 log b dan 1/3 log b (dengan 0 < b < 1): Sama seperti di atas, 1/3 log b < 1/2 log b.
Menggabungkan semua: 1/3 log a < 1/2 log a dan 1/3 log b < 1/2 log b.
Kita juga tahu 1/2 log a > 1/2 log b dan 1/3 log a > 1/3 log b.
Karena a dan b lebih kecil dari 1, logaritma dengan basis lebih kecil (1/3) akan memberikan nilai yang lebih besar daripada logaritma dengan basis lebih besar (1/2) ketika argumennya sama. Namun, kita perlu membandingkan nilai-nilai secara keseluruhan.
1/2 log a > 1/3 log a
1/2 log b > 1/3 log b

Perbandingan lebih rinci untuk d:
Karena 0 < a < b < 1:
1/2 log a dan 1/3 log a: Keduanya positif. Karena 1/2 > 1/3, maka 1/2 log a < 1/3 log a.
1/2 log b dan 1/3 log b: Keduanya positif. Karena 1/2 > 1/3, maka 1/2 log b < 1/3 log b.

Sekarang bandingkan: 1/2 log a, 1/2 log b, 1/3 log a, 1/3 log b.
Kita tahu 1/2 log a > 1/2 log b dan 1/3 log a > 1/3 log b.
Kita juga tahu 1/3 log a > 1/2 log a dan 1/3 log b > 1/2 log b.

Maka, urutan dari yang terbesar adalah: 1/3 log a, 1/2 log a, 1/3 log b, 1/2 log b.