Jika x/a=cotan gamma dan y=b cosec gamma , tunjukkan bahwa:

Menggunakan identitas trigonometri cosec^2 γ - cotan^2 γ = 1.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan x/a = cotan gamma dan y = b cosec gamma.
Kita perlu menunjukkan bahwa x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1.

Dari persamaan yang diberikan, kita bisa mendapatkan:
x/a = cotan gamma

Kuadratkan kedua sisi: (x/a)^2 = cotan^2 gamma
x^2/a^2 = cotan^2 gamma

Selanjutnya, dari persamaan y = b cosec gamma:
y/b = cosec gamma

Kuadratkan kedua sisi: (y/b)^2 = cosec^2 gamma
y^2/b^2 = cosec^2 gamma

Sekarang, substitusikan kedua ekspresi ini ke dalam persamaan yang ingin kita tunjukkan:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = cotan^2 gamma - cosec^2 gamma

Kita tahu identitas trigonometri dasar yang menyatakan bahwa: cosec^2 gamma - cotan^2 gamma = 1.

Jika kita mengatur ulang identitas ini, kita mendapatkan:
cotan^2 gamma - cosec^2 gamma = -1.

Oleh karena itu, kita telah menunjukkan bahwa x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1.