Jika 0<=x<=1/2 dan x|2x-1|+|x|(x-2)<=2x, nilai x harus

$3 - 2\sqrt{2} <= x <= 1/2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $|2x-1|+|x|(x-2) 

<=2x$ dengan syarat $0 

<=x 

<=1/2$, kita perlu mempertimbangkan kasus berdasarkan nilai absolut:

Karena $0 

<=x 

<=1/2$, maka:
1. $x$ adalah non-negatif, sehingga $|x| = x$.
2. $2x 

<= 1$, sehingga $2x-1 

<= 0$. Dengan demikian, $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.

Substitusikan nilai absolut ini ke dalam pertidaksamaan:
$(1-2x) + x(x-2) 

<= 2x$
$1 - 2x + x^2 - 2x 

<= 2x$
$x^2 - 4x + 1 

<= 2x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat:
$x^2 - 4x - 2x + 1 

<= 0$
$x^2 - 6x + 1 

<= 0$

Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 - 6x + 1 = 0$ menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$
$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}$
$x = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Akar-akarnya adalah $x_1 = 3 - 2\sqrt{2}$ dan $x_2 = 3 + 2\sqrt{2}$.

Karena parabola $y = x^2 - 6x + 1$ terbuka ke atas, pertidaksamaan $x^2 - 6x + 1 

<= 0$ terpenuhi di antara akar-akarnya, yaitu $3 - 2\sqrt{2} 

<= x 

<= 3 + 2\sqrt{2}$.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan syarat awal $0 

<=x 

<=1/2$.
Kita perlu mencari irisan (intersection) dari kedua interval:
$[3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}]$ dan $[0, 1/2]$.

Mari kita perkirakan nilai $3 - 2\sqrt{2}$: $\sqrt{2} 

≈ 1.414$, jadi $2\sqrt{2} 

≈ 2.828$. Maka $3 - 2\sqrt{2} 

≈ 3 - 2.828 = 0.172$.
Nilai $3 + 2\sqrt{2} 

≈ 3 + 2.828 = 5.828$.

Jadi, interval dari pertidaksamaan adalah sekitar $[0.172, 5.828]$.

Interval dari syarat adalah $[0, 0.5]$.

Irisan dari $[0.172, 5.828]$ dan $[0, 0.5]$ adalah $[0.172, 0.5]$.
Dalam bentuk eksak, irisannya adalah $[3 - 2\sqrt{2}, 1/2]$.

Oleh karena itu, nilai x harus memenuhi $3 - 2\sqrt{2} 

<= x 

<= 1/2$.