Jika 2log (akar(x^2-16))= 2, nilai dari xlog2=

5/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami sifat-sifat logaritma dan eksponen. Soal ini meminta nilai dari xlog2 jika 2log (akar(x^2-16)) = 2.

Langkah 1: Selesaikan persamaan logaritma untuk menemukan nilai x.
2log (akar(x^2-16)) = 2
Kita bisa mengubah bentuk akar menjadi pangkat 1/2:
2log ((x^2-16)^(1/2)) = 2
Gunakan sifat logaritma log_b(m^n) = n*log_b(m):
2 * (1/2) * log(x^2-16) = 2
log(x^2-16) = 2
Ingat bahwa log tanpa basis berarti logaritma basis 10. Jadi, log_10(x^2-16) = 2.
Dengan definisi logaritma, ini berarti:
x^2-16 = 10^2
x^2-16 = 100
x^2 = 100 + 16
x^2 = 116
x = ±sqrt(116)
x = ±sqrt(4 * 29)
x = ±2*sqrt(29)

Karena basis logaritma tidak boleh negatif atau nol, kita perlu memastikan x > 0. Jadi, x = 2*sqrt(29).

Langkah 2: Hitung nilai xlog2.
Sekarang kita perlu menghitung (2*sqrt(29))log2. Ini berarti logaritma basis 2 dari 2*sqrt(29).
(2*sqrt(29))log2 = log_2(2*sqrt(29))
Gunakan sifat logaritma log_b(m*n) = log_b(m) + log_b(n):
log_2(2*sqrt(29)) = log_2(2) + log_2(sqrt(29))
Kita tahu bahwa log_2(2) = 1.
log_2(sqrt(29)) = log_2(29^(1/2))
Gunakan sifat logaritma log_b(m^n) = n*log_b(m):
log_2(29^(1/2)) = (1/2)*log_2(29)
Jadi, xlog2 = 1 + (1/2)*log_2(29).

Karena soal hanya memberikan nilai 2log(akar(x^2-16)) = 2 dan meminta nilai xlog2, kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau ada informasi yang hilang. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa basis logaritma pada soal pertama adalah 2 (yaitu, 2log), maka:
2log (akar(x^2-16)) = 2
log_2 ((x^2-16)^(1/2)) = 2
(1/2) log_2 (x^2-16) = 2
log_2 (x^2-16) = 4
x^2-16 = 2^4
x^2-16 = 16
x^2 = 32
x = ±sqrt(32)
x = ±4*sqrt(2)
Karena basis logaritma harus positif, x = 4*sqrt(2).

Maka, xlog2 = (4*sqrt(2))log2 = log_2(4*sqrt(2))
log_2(4*sqrt(2)) = log_2(2^2 * 2^(1/2))
log_2(2^(2 + 1/2))
log_2(2^(5/2))
= 5/2

Jadi, jika basis logaritma adalah 2, nilai dari xlog2 adalah 5/2.