Jika 2log5=a dan 6log2=b, maka 75log60=...

75log60 = (ab + b + 1) / (2ab - b + 1)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma. Diketahui 2log5 = a dan 6log2 = b.

Langkah 1: Ubah semua logaritma ke basis yang sama. Basis 10 atau basis e (natural log) seringkali memudahkan.
Kita gunakan basis 10:
2log5 = log5 / log2 = a
6log2 = log2 / log6 = b

Langkah 2: Ekspresikan logaritma yang ditanyakan dalam basis yang sama.
Kita ingin mencari 75log60 = log60 / log75.

Mari kita ubah ekspresi yang diketahui:
log5 = a * log2
log2 = b * log6 = b * (log2 + log3)

Substitusikan log5 ke dalam persamaan log2:
log2 = b * (log2 + log3)
log2 = b*log2 + b*log3
log2 * (1 - b) = b * log3
log3 = log2 * (1 - b) / b

Sekarang kita substitusikan kembali log3 ke dalam ekspresi log5:
log5 = a * log2
Kita juga tahu bahwa log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - log2.
Jadi, 1 - log2 = a * log2
1 = log2 * (a + 1)
log2 = 1 / (a + 1)

Sekarang kita bisa mencari log3:
log3 = log2 * (1 - b) / b = (1 / (a + 1)) * (1 - b) / b = (1 - b) / (b * (a + 1))

Selanjutnya, kita ekspresikan log60 dan log75:
log60 = log(6 * 10) = log6 + log10 = log2 + log3 + 1
log60 = [1 / (a + 1)] + [(1 - b) / (b * (a + 1))] + 1
log60 = [b + (1 - b) + b * (a + 1)] / [b * (a + 1)]
log60 = [b + 1 - b + ab + b] / [b * (a + 1)]
log60 = [1 + ab + b] / [b * (a + 1)]

log75 = log(3 * 25) = log3 + log25 = log3 + 2*log5
log75 = [(1 - b) / (b * (a + 1))] + 2 * [a / (a + 1)]
log75 = [(1 - b) + 2a * b] / [b * (a + 1)]
log75 = [1 - b + 2ab] / [b * (a + 1)]

Terakhir, kita hitung 75log60:
75log60 = log60 / log75
75log60 = ([1 + ab + b] / [b * (a + 1)]) / ([1 - b + 2ab] / [b * (a + 1)])
75log60 = (1 + ab + b) / (1 - b + 2ab)

Jadi, 75log60 = (ab + b + 1) / (2ab - b + 1).