Jika 2loga+2logb=12 dan 3 1loga-2logb=4 maka a+b=...

Nilai $a+b = 2^{14/5}(2^{2/5} + 1)$ dengan asumsi basis logaritma adalah 2.

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan logaritma: 1) $2\log a + 2\log b = 12$ dan 2) $3\log a - 2\log b = 4$. Kita dapat menyederhanakan persamaan pertama menggunakan sifat logaritma $\log x + \log y = \log(xy)$ dan $n \log x = \log(x^n)$: $2(\log a + \log b) = 12 \implies \log a + \log b = 6 \implies \log(ab) = 6$. Dari sini, kita dapatkan $ab = 10^6$.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode eliminasi. Kita dapat menjumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi $2\log b$:
$(2\log a + 2\log b) + (3\log a - 2\log b) = 12 + 4$
$5\log a = 16$
$\log a = \frac{16}{5}$

Dari $\log a = \frac{16}{5}$, kita dapatkan $a = 10^{\frac{16}{5}}$.

Sekarang, substitusikan nilai $\log a$ ke salah satu persamaan awal untuk mencari $\log b$. Menggunakan persamaan pertama:
$2(\frac{16}{5}) + 2\log b = 12$
$\frac{32}{5} + 2\log b = 12$
$2\log b = 12 - \frac{32}{5}$
$2\log b = \frac{60 - 32}{5}$
$2\log b = \frac{28}{5}$
$\log b = \frac{14}{5}$

Dari $\log b = \frac{14}{5}$, kita dapatkan $b = 10^{\frac{14}{5}}$.

Sekarang kita perlu mencari $a+b$. Namun, perhatikan bahwa jika basis logaritma tidak disebutkan, biasanya diasumsikan basis 10. Jika basisnya adalah 2 seperti yang tersirat dari notasi '2loga', maka perhitungannya akan berbeda. Mengasumsikan basis logaritma adalah 10:
$a = 10^{16/5}$
$b = 10^{14/5}$
$a+b = 10^{16/5} + 10^{14/5} = 10^{14/5}(10^{2/5} + 1)$. Ini adalah bentuk yang cukup kompleks dan mungkin ada kesalahan interpretasi soal atau basis logaritma.

Mari kita asumsikan basis logaritma adalah 2, sesuai dengan notasi $2\log a$ dan $2\log b$: 
Persamaan 1: $2 \log_2 a + 2 \log_2 b = 12 \implies \log_2 a + \log_2 b = 6 \implies \log_2(ab) = 6 \implies ab = 2^6 = 64$.
Persamaan 2: $3 \log_2 a - 2 \log_2 b = 4$.

Dari Persamaan 1, kita bisa dapatkan $b = \frac{64}{a}$. Substitusikan ke Persamaan 2:
$3 \log_2 a - 2 \log_2(\frac{64}{a}) = 4$
$3 \log_2 a - 2 (\log_2 64 - \log_2 a) = 4$
$3 \log_2 a - 2 (6 - \log_2 a) = 4$
$3 \log_2 a - 12 + 2 \log_2 a = 4$
$5 \log_2 a = 16$
$\log_2 a = \frac{16}{5}$
$a = 2^{16/5}$.

Sekarang cari $b$:
$b = \frac{64}{a} = \frac{2^6}{2^{16/5}} = 2^{6 - 16/5} = 2^{(30-16)/5} = 2^{14/5}$.

Maka $a+b = 2^{16/5} + 2^{14/5} = 2^{14/5}(2^{2/5} + 1)$.

Jika soal tersebut adalah $\log_2 a$ dan $\log_2 b$, maka jawabannya adalah $2^{14/5}(2^{2/5} + 1)$. Jika yang dimaksud adalah $\log a$ dan $\log b$ dengan basis 10, maka $a = 10^{16/5}$ dan $b = 10^{14/5}$, sehingga $a+b = 10^{16/5} + 10^{14/5}$.

Asumsi yang paling mungkin dari notasi '2loga' adalah $\log_2 a$. Namun, tanpa klarifikasi, sulit untuk memberikan jawaban numerik yang pasti.