Tentukan nilai n untuka. P(n, 2)=72b. 5P(n, 3)=4P(n+1,3)

Nilai n adalah 9 untuk P(n,2)=72, dan n=14 untuk 5P(n,3)=4P(n+1,3).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai n dari persamaan P(n, 2) = 72 dan 5P(n, 3) = 4P(n+1, 3), kita akan menggunakan definisi permutasi.

Definisi Permutasi:
Permutasi P(n, k) adalah jumlah cara untuk memilih dan menyusun k objek dari himpunan n objek yang berbeda, dan dirumuskan sebagai:
P(n, k) = n! / (n-k)!

a. P(n, 2) = 72
Menggunakan rumus permutasi:
P(n, 2) = n! / (n-2)!
Karena n! = n * (n-1) * (n-2)!, maka:
P(n, 2) = [n * (n-1) * (n-2)!] / (n-2)!
P(n, 2) = n * (n-1)

Jadi, kita punya persamaan:
n * (n-1) = 72
n^2 - n - 72 = 0
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -72 dan jika dijumlahkan hasilnya -1. Bilangan tersebut adalah -9 dan 8.
(n - 9)(n + 8) = 0
Maka, n = 9 atau n = -8.
Karena nilai n dalam permutasi harus bilangan asli (n ≥ k), maka n = 9.

b. 5P(n, 3) = 4P(n+1, 3)
Menggunakan rumus permutasi:
P(n, 3) = n! / (n-3)! = n * (n-1) * (n-2)
P(n+1, 3) = (n+1)! / ((n+1)-3)! = (n+1)! / (n-2)! = (n+1) * n * (n-1)

Substitusikan ke dalam persamaan:
5 * [n * (n-1) * (n-2)] = 4 * [(n+1) * n * (n-1)]

Kita dapat membagi kedua sisi dengan n * (n-1), dengan asumsi n ≠ 0 dan n ≠ 1 (yang memang harus demikian karena kita menggunakan P(n,3) dan P(n+1,3) sehingga n ≥ 3).
5 * (n-2) = 4 * (n+1)
5n - 10 = 4n + 4
5n - 4n = 4 + 10
n = 14

Untuk kasus b, kita juga perlu memastikan bahwa n+1 ≥ 3, yang berarti n ≥ 2. Nilai n=14 memenuhi syarat ini.

Jadi, nilai n adalah:
a. n = 9
b. n = 14