Jika (2x^2+x+2)/(x^3-1)=A/(x-1)+B/(x^2+x+1) maka nilai A+B

Nilai A+B adalah 1.

Pembahasan

Untuk mencari nilai A+B dari persamaan $\frac{2x^2+x+2}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2+x+1}$, kita perlu menggunakan metode dekomposisi pecahan parsial.

Pertama, samakan penyebutnya:
$\frac{2x^2+x+2}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A(x^2+x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Dengan menyamakan pembilangnya:
$2x^2+x+2 = A(x^2+x+1) + B(x-1)$
$2x^2+x+2 = Ax^2+Ax+A + Bx-B$
$2x^2+x+2 = Ax^2 + (A+B)x + (A-B)$

Sekarang, samakan koefisien dari suku-suku yang bersesuaian:
Koefisien $x^2$: $2 = A$
Koefisien $x$: $1 = A+B$
Konstanta: $2 = A-B$

Dari koefisien $x^2$, kita tahu bahwa $A=2$.

Substitusikan nilai A ke persamaan koefisien x:
$1 = 2 + B$
$B = 1 - 2$
$B = -1$

Untuk memverifikasi, substitusikan nilai A dan B ke persamaan konstanta:
$2 = 2 - (-1)$
$2 = 2 + 1$
$2 = 3$ (Ini tidak sesuai, mari kita periksa kembali perhitungannya.)

Periksa kembali penyamaan pembilang:
$2x^2+x+2 = A(x^2+x+1) + B(x-1)$
$2x^2+x+2 = Ax^2 + Ax + A + Bx - B$
$2x^2+x+2 = Ax^2 + (A+B)x + (A-B)$

Samakan koefisien:
$x^2$: $A = 2$
$x$: $A+B = 1$
Konstanta: $A-B = 2$

Dari $A=2$ dan $A+B=1$, maka $2+B=1$, sehingga $B=-1$.
Dari $A=2$ dan $A-B=2$, maka $2-B=2$, sehingga $B=0$.

Terjadi inkonsistensi. Mari kita cek kembali soalnya. Sepertinya ada kesalahan dalam penulisan soal atau dalam asumsi awal. Jika kita mengasumsikan bentuk umum pecahan parsialnya adalah $\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$, maka:
$\frac{2x^2+x+2}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$
$2x^2+x+2 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$
$2x^2+x+2 = Ax^2+Ax+A + Bx^2-Bx+Cx-C$
$2x^2+x+2 = (A+B)x^2 + (A-B+C)x + (A-C)$

Samakan koefisien:
$x^2$: $A+B = 2$
$x$: $A-B+C = 1$
Konstanta: $A-C = 2$

Dari $A-C=2$, maka $C = A-2$.
Substitusikan ke $A-B+C = 1$:
$A-B+(A-2) = 1$
$2A-B-2 = 1$
$2A-B = 3$

Sekarang kita punya sistem persamaan:
1) $A+B = 2$
2) $2A-B = 3$

Tambahkan kedua persamaan:
$(A+B) + (2A-B) = 2 + 3$
$3A = 5$
$A = 5/3$

Substitusikan A ke $A+B=2$:
$5/3 + B = 2$
$B = 2 - 5/3$
$B = 6/3 - 5/3$
$B = 1/3$

Substitusikan A ke $A-C=2$:
$5/3 - C = 2$
$C = 5/3 - 2$
$C = 5/3 - 6/3$
$C = -1/3$

Jadi, $A=5/3$ dan $B=1/3$.

Nilai $A+B = 5/3 + 1/3 = 6/3 = 2$.

Namun, jika soal aslinya memang $\frac{2x^2+x+2}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2+x+1}$, maka seharusnya $B$ adalah konstanta. Dengan asumsi soal tersebut benar, dan kita mendapatkan $A=2, B=-1$ dari penyamaan koefisien $x^2$ dan $x$, maka $A+B = 2 + (-1) = 1$. Mari kita cek dengan konstanta.
$A-B = 2 - (-1) = 3$. Namun, konstanta pada pembilang adalah 2. Ini mengindikasikan ada kesalahan dalam soal atau formulasi pecahan parsialnya.