Jika A=(1/2 akar(3) -1/2 1/2 1/2 akar(3)) maka A^4= ....

A^4 = [[-1/2, -sqrt(3)/2], [sqrt(3)/2, -1/2]]

Pembahasan

Untuk menghitung A^4, kita perlu mengalikan matriks A dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali.

Matriks A adalah:
$A = \begin{pmatrix} 1/2 \sqrt{3} & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \sqrt{3} \end{pmatrix}$

Perhatikan bahwa matriks ini memiliki struktur yang mirip dengan matriks rotasi, tetapi dengan nilai sinus dan kosinus yang berbeda atau pada sudut yang berbeda. 

Mari kita identifikasi elemen-elemen matriks:
Elemen kanan atas dan kiri bawah adalah $-1/2$ dan $1/2$. 
Elemen kiri atas dan kanan bawah adalah $1/2 	ext{sqrt}(3)$ dan $1/2 	ext{sqrt}(3)$. 

Jika kita menganggap elemen kiri atas sebagai $\cos(\theta)$ dan elemen kanan atas sebagai $-\sin(\theta)$, maka:
$\cos(\theta) = 1/2 \text{sqrt}(3) \implies \theta = 30^\circ = \pi/6$ radian.
$-\sin(\theta) = -1/2 \implies \sin(\theta) = 1/2 \implies \theta = 30^\circ = \pi/6$ radian.

Elemen kiri bawah adalah $\sin(\theta) = 1/2$. Ini sesuai dengan $\sin(30^\circ)$.
Elemen kanan bawah adalah $\cos(\theta) = 1/2 \text{sqrt}(3)$. Ini tidak sesuai dengan $\cos(30^\circ)$.

Mari kita periksa kembali bentuk matriksnya. 
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
$a = 1/2 \text{sqrt}(3)$, $b = -1/2$, $c = 1/2$, $d = 1/2 \text{sqrt}(3)$.

Bentuk umum matriks rotasi $R(\theta)$ adalah $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$.

Dalam kasus ini, elemen $(1,1)$ dan $(2,2)$ adalah sama ($1/2 \text{sqrt}(3)$), tetapi elemen $(1,2)$ adalah $-1/2$ dan elemen $(2,1)$ adalah $1/2$. 

Ini adalah matriks rotasi di $\mathbb{R}^2$. 
$\cos(\theta) = 1/2 \text{sqrt}(3) 
ightarrow \theta = 30^\circ = \pi/6$.
$\sin(\theta) = 1/2 \rightarrow \theta = 30^\circ = \pi/6$.

Jadi, matriks A adalah matriks rotasi sebesar $30^\circ$ atau $\pi/6$ radian.
$A = R(\pi/6) = \begin{pmatrix} \cos(\pi/6) & -\sin(\pi/6) \\ \sin(\pi/6) & \cos(\pi/6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$.

Perhatikan bahwa nilai $1/2 	ext{sqrt}(3)$ sama dengan $\sqrt{3}/2$.

Maka, $A^4$ adalah hasil rotasi sebesar $4 \times 30^\circ = 120^\circ$ atau $4 \times \pi/6 = 2\pi/3$ radian.

$A^4 = R(4 \times \pi/6) = R(2\pi/3)$.

$A^4 = \begin{pmatrix} \cos(2\pi/3) & -\sin(2\pi/3) \\ \sin(2\pi/3) & \cos(2\pi/3) \end{pmatrix}$.

Kita tahu bahwa $\cos(2\pi/3) = -1/2$ dan $\sin(2\pi/3) = \text{sqrt}(3)/2$.

Jadi,
$A^4 = \begin{pmatrix} -1/2 & -\text{sqrt}(3)/2 \\ \text{sqrt}(3)/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.

Jika kita tulis ulang menggunakan notasi desimal atau bentuk lain:
$A^4 = \begin{pmatrix} -0.5 & -0.866 \\ 0.866 & -0.5 \end{pmatrix}$ (kira-kira).
Atau dalam bentuk akar:
$A^4 = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 \sqrt{3} \\ 1/2 \sqrt{3} & -1/2 \end{pmatrix}$.