Jika a^(2x)=akar(2)-1, tentukanlah:

Nilai dari ekspresi tersebut adalah 2 * sqrt(2) - 1.

Pembahasan

Diketahui a^(2x) = sqrt(2) - 1.
Kita perlu menentukan nilai dari (a^(3x) + a^(-3x)) / (a^x + a^(-x)).

Misalkan p = a^x. Maka, a^(2x) = p^2.
Jadi, p^2 = sqrt(2) - 1.

Perhatikan bentuk (a^x + a^(-x))^2:
(a^x + a^(-x))^2 = (a^x)^2 + 2 * a^x * a^(-x) + (a^(-x))^2
               = a^(2x) + 2 * a^0 + a^(-2x)
               = a^(2x) + 2 + a^(-2x)

Kita juga perlu mencari nilai a^(-2x). Karena a^(2x) = sqrt(2) - 1, maka:
a^(-2x) = 1 / a^(2x) = 1 / (sqrt(2) - 1).
Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan (sqrt(2) + 1) / (sqrt(2) + 1):
a^(-2x) = (sqrt(2) + 1) / ((sqrt(2) - 1)(sqrt(2) + 1))
         = (sqrt(2) + 1) / (2 - 1)
         = sqrt(2) + 1.

Sekarang substitusikan nilai a^(2x) dan a^(-2x) ke dalam persamaan (a^x + a^(-x))^2:
(a^x + a^(-x))^2 = (sqrt(2) - 1) + 2 + (sqrt(2) + 1)
               = sqrt(2) - 1 + 2 + sqrt(2) + 1
               = 2 * sqrt(2) + 2.

Jadi, a^x + a^(-x) = sqrt(2 * sqrt(2) + 2).

Selanjutnya, perhatikan bentuk a^(3x) + a^(-3x). Kita bisa menggunakan identitas:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
Dengan a = a^x dan b = a^(-x):
a^(3x) + a^(-3x) = (a^x + a^(-x))((a^x)^2 - a^x * a^(-x) + (a^(-x))^2)
                 = (a^x + a^(-x))(a^(2x) - 1 + a^(-2x))
                 = (a^x + a^(-x))((sqrt(2) - 1) - 1 + (sqrt(2) + 1))
                 = (a^x + a^(-x))(sqrt(2) - 1 - 1 + sqrt(2) + 1)
                 = (a^x + a^(-x))(2 * sqrt(2) - 1).

Sekarang kita dapat menghitung ekspresi yang diminta:
(a^(3x) + a^(-3x)) / (a^x + a^(-x)) = [(a^x + a^(-x))(2 * sqrt(2) - 1)] / (a^x + a^(-x))
                                 = 2 * sqrt(2) - 1.

Namun, ada cara yang lebih sederhana jika kita mengenali bahwa:
a^(3x) + a^(-3x) = (a^x + a^(-x))^3 - 3(a^x + a^(-x)).
Misalkan y = a^x + a^(-x).
Maka, a^(3x) + a^(-3x) = y^3 - 3y.

Kita sudah punya (a^x + a^(-x))^2 = 2 * sqrt(2) + 2, jadi y = sqrt(2 * sqrt(2) + 2).
Ini menjadi rumit. Mari kita tinjau ulang.

Perhatikan ekspresi: (a^(3x) + a^(-3x)) / (a^x + a^(-x))
Kita bisa memfaktorkan pembilang:
a^(3x) + a^(-3x) = (a^x)^3 + (a^(-x))^3
                 = (a^x + a^(-x)) * (a^(2x) - a^x * a^(-x) + a^(-2x))
                 = (a^x + a^(-x)) * (a^(2x) - 1 + a^(-2x))

Maka, ekspresi yang dicari adalah:
(a^(3x) + a^(-3x)) / (a^x + a^(-x)) = [(a^x + a^(-x)) * (a^(2x) - 1 + a^(-2x))] / (a^x + a^(-x))
                                 = a^(2x) - 1 + a^(-2x)

Kita sudah menghitung:
a^(2x) = sqrt(2) - 1
a^(-2x) = sqrt(2) + 1

Maka, substitusikan nilai-nilai ini:
= (sqrt(2) - 1) - 1 + (sqrt(2) + 1)
= sqrt(2) - 1 - 1 + sqrt(2) + 1
= 2 * sqrt(2) - 1.

Jadi, nilai dari (a^(3x) + a^(-3x)) / (a^x + a^(-x)) adalah 2 * sqrt(2) - 1.