Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat (2,1) dan

Persamaan lingkarannya adalah (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 20.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 1) dan menyinggung garis 2x + y + 5 = 0, kita perlu mencari jari-jari lingkaran tersebut. Jari-jari lingkaran yang menyinggung suatu garis adalah jarak dari titik pusat lingkaran ke garis tersebut.

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini:
*   Titik pusat (x0, y0) = (2, 1)
*   Garis adalah 2x + y + 5 = 0, sehingga A = 2, B = 1, dan C = 5.

Jarak (jari-jari, r) adalah:
r = |2(2) + 1(1) + 5| / sqrt(2^2 + 1^2)
r = |4 + 1 + 5| / sqrt(4 + 1)
r = |10| / sqrt(5)
r = 10 / sqrt(5)

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan sqrt(5) / sqrt(5):
r = (10 * sqrt(5)) / (sqrt(5) * sqrt(5))
r = 10 * sqrt(5) / 5
r = 2 * sqrt(5).

Persamaan umum lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Dengan pusat (h, k) = (2, 1) dan jari-jari r = 2 * sqrt(5):
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (2 * sqrt(5))^2
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 * 5
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 20.

Jika dijabarkan:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 20
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 - 20 = 0
x^2 + y^2 - 4x - 2y - 15 = 0.

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 1) dan menyinggung garis 2x + y + 5 = 0 adalah (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 20 atau x^2 + y^2 - 4x - 2y - 15 = 0.