Jika a=6log5 dan b=5log4, tentukan nilai 4log0,24 dalam a

(1 - 2a) / (ab)

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menyatakan 4log0,24 dalam bentuk a dan b, di mana a = 6log5 dan b = 5log4. 
Pertama, kita perlu menyederhanakan ekspresi yang diberikan dan yang ditanyakan menggunakan sifat-sifat logaritma. 
Diketahui: 
a = 6log5 
b = 5log4 
Ditanya: 4log0,24

Mari kita ubah 0,24 menjadi bentuk pecahan: 0,24 = 24/100 = 6/25. 
Maka, 4log0,24 = 4log(6/25). 
Menggunakan sifat logaritma log(m/n) = log(m) - log(n): 
4log(6/25) = 4log6 - 4log25.
Menggunakan sifat logaritma log(m^p) = p*log(m): 
4log25 = 4log(5^2) = 2 * 4log5. 

Sekarang kita perlu mengekspresikan semua logaritma dalam basis yang sama atau basis yang terkait dengan a dan b. Mari kita gunakan basis 10 atau basis alami jika perlu, atau coba manipulasi basis logaritma yang ada.

Dari b = 5log4, kita bisa menulisnya sebagai b = 5log(2^2) = 2 * 5log2. Jadi, 5log2 = b/2.

Sekarang kita coba hubungkan dengan 4log5. Menggunakan perubahan basis: 4log5 = 1 / (5log4) = 1/b. 

Selanjutnya, mari kita lihat 4log6. Kita bisa menulis 4log6 = 4log(2*3) = 4log2 + 4log3. Ini mulai rumit karena kita tidak memiliki informasi tentang log basis 4 dari 2 atau 3 secara langsung dari a dan b.

Mari kita coba pendekatan lain. Kita punya a = 6log5 dan b = 5log4. Kita ingin mencari 4log0,24.
Perhatikan bahwa 0,24 = 24/100 = 6/25. 
Jadi, 4log(0,24) = 4log(6/25) = 4log6 - 4log25.
Kita tahu 4log25 = 4log(5^2) = 2 * 4log5. 
Dan 4log5 = 1 / (5log4) = 1/b.
Jadi, 4log25 = 2/b.

Sekarang kita perlu mengekspresikan 4log6. 
4log6 = 4log(2 * 3). 
Kita perlu mencari hubungan antara basis 4, 5, 6, dan angka 2, 3. 

Dari b = 5log4, kita bisa gunakan sifat perubahan basis: b = log(4)/log(5). 
Dari a = 6log5, kita bisa gunakan sifat perubahan basis: a = log(5)/log(6). 

Kita ingin mencari 4log(0,24) = 4log(24/100) = 4log(6/25) = 4log6 - 4log25.

Kita sudah punya 4log25 = 2 * 4log5 = 2 * (1/5log4) = 2/b.

Sekarang mari kita fokus pada 4log6. 
4log6 = 4log(2*3).
Kita tahu 5log4 = b, jadi 5log(2^2) = b, atau 2 * 5log2 = b, sehingga 5log2 = b/2.
Kita tahu 6log5 = a, jadi log(5)/log(6) = a.

Mari kita coba ekspresikan semua dalam basis yang sama, misalnya basis 10.
log(5)/log(6) = a => log(5) = a*log(6)
log(4)/log(5) = b => log(4) = b*log(5) = b*(a*log(6)) = ab*log(6).

Kita ingin mencari 4log(6/25) = log(6/25) / log(4) = (log6 - log25) / log(4) = (log6 - 2*log5) / log(4).
Substitusikan nilai-nilai yang kita punya:
log(5) = a*log(6)
log(4) = ab*log(6)

Maka, (log6 - 2*(a*log(6))) / (ab*log(6))
= log6 * (1 - 2a) / (ab*log(6))
= (1 - 2a) / (ab).

Jadi, 4log0,24 = (1 - 2a) / (ab).