Jika a+b+c=0, |a|=3,|b|=5,|c|=7 , maka sudut antara a dan b

60°

Pembahasan

Ini adalah soal vektor di mana kita diberikan informasi tentang jumlah tiga vektor dan magnitudo masing-masing vektor, serta diminta untuk mencari sudut antara dua vektor.

Diketahui:
1. $a+b+c = 0$ (vektor nol)
2. $|a| = 3$
3. $|b| = 5$
4. $|c| = 7$

Dari persamaan $a+b+c = 0$, kita dapat menulis $c = -(a+b)$.
Kuadratkan kedua sisi persamaan vektor ini:
$|c|^2 = |-(a+b)|^2$
$|c|^2 = |a+b|^2$

Menggunakan sifat $|v|^2 = v \]cdot v$ dan $|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v)$:
$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$

Kita tahu bahwa hasil kali titik dua vektor ($a \cdot b$) berhubungan dengan sudut ($\theta$) di antara keduanya melalui rumus $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$.
Jadi, $|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a| |b| \cos \theta$.

Masukkan nilai-nilai yang diketahui:
$7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$49 = 34 + 30 \cos \theta$

Sekarang, kita selesaikan untuk $\cos \theta$:
$49 - 34 = 30 \cos \theta$
$15 = 30 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{15}{30}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$

Untuk mencari sudut $\theta$, kita ambil invers kosinus dari $\frac{1}{2}$:
$\theta = \arccos(\frac{1}{2})$
$\theta = 60^\circ$

Jadi, sudut antara vektor $a$ dan $b$ adalah $60^\circ$.

Metadata:
Grades: SMA
Chapters: Vektor
Topics: Operasi Vektor
Sections: Hasil Kali Titik