Jika a dan b adalah sudut-sudut lancip dengan tan a=7/24

sin(a+b) = 323/325

Pembahasan

Diketahui tan a = 7/24 dan cotan b = 5/12. Karena a dan b adalah sudut lancip, maka sin a, cos a, sin b, dan cos b semuanya positif.

Untuk a:
tan a = 7/24. Menggunakan teorema Pythagoras, sisi miring (s) = sqrt(7^2 + 24^2) = sqrt(49 + 576) = sqrt(625) = 25.
Maka, sin a = 7/25 dan cos a = 24/25.

Untuk b:
cotan b = 5/12. Ini berarti tan b = 12/5. Menggunakan teorema Pythagoras, sisi miring (s) = sqrt(5^2 + 12^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13.
Maka, sin b = 12/13 dan cos b = 5/13.

Kita perlu menghitung sin(a + b/2). Namun, soal ini tampaknya memiliki kesalahan penulisan. Jika yang dimaksud adalah sin(a+b), maka:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a + b) = (7/25) * (5/13) + (24/25) * (12/13)
sin(a + b) = 35/325 + 288/325
sin(a + b) = 323/325

Jika soal benar-benar meminta sin(a + b/2), maka kita perlu mencari nilai sin(b/2) dan cos(b/2). 
Kita tahu cos b = 5/13. Menggunakan identitas setengah sudut:
sin^2(b/2) = (1 - cos b) / 2 = (1 - 5/13) / 2 = (8/13) / 2 = 4/13
sin(b/2) = sqrt(4/13) = 2/sqrt(13) = 2*sqrt(13)/13 (karena b lancip, b/2 juga lancip, sehingga sin positif)

cos^2(b/2) = (1 + cos b) / 2 = (1 + 5/13) / 2 = (18/13) / 2 = 9/13
cos(b/2) = sqrt(9/13) = 3/sqrt(13) = 3*sqrt(13)/13 (karena b lancip, b/2 juga lancip, sehingga cos positif)

Sekarang hitung sin(a + b/2):
sin(a + b/2) = sin a cos(b/2) + cos a sin(b/2)
sin(a + b/2) = (7/25) * (3*sqrt(13)/13) + (24/25) * (2*sqrt(13)/13)
sin(a + b/2) = (21*sqrt(13))/325 + (48*sqrt(13))/325
sin(a + b/2) = (69*sqrt(13))/325

Karena ada ambiguitas pada soal, jawaban di bawah ini mengasumsikan yang dimaksud adalah sin(a+b).