Jika a dan b akar-akar persamaan 3x^2 + x + 2 = 0,

a. -11/9, b. 73/9, c. -2/9, d. 5/4

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat 3x^2 + x + 2 = 0, dengan akar-akar a dan b.
Menurut sifat akar-akar persamaan kuadrat:
Jumlah akar (a + b) = -b/a = -1/3
Perkalian akar (a * b) = c/a = 2/3

a. Menghitung a^2 + b^2:
Kita tahu bahwa a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
Substitusikan nilai a + b dan ab:
a^2 + b^2 = (-1/3)^2 - 2(2/3)
a^2 + b^2 = 1/9 - 4/3
a^2 + b^2 = 1/9 - 12/9
a^2 + b^2 = -11/9

b. Menghitung (a - 2)^2 + (b - 2)^2:
(a - 2)^2 + (b - 2)^2 = (a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4)
= a^2 + b^2 - 4(a + b) + 8
Substitusikan nilai a^2 + b^2, a + b:
= (-11/9) - 4(-1/3) + 8
= -11/9 + 4/3 + 8
= -11/9 + 12/9 + 72/9
= (-11 + 12 + 72) / 9
= 73/9

c. Menghitung a^2 b + a b^2:
Ini bisa difaktorkan menjadi ab(a + b).
Substitusikan nilai ab dan a + b:
ab(a + b) = (2/3)(-1/3)
= -2/9

d. Menghitung 1/(a+1) + 1/(b+1):
Samakan penyebutnya:
= (b+1 + a+1) / ((a+1)(b+1))
= (a + b + 2) / (ab + a + b + 1)
Substitusikan nilai a + b dan ab:
= (-1/3 + 2) / (2/3 - 1/3 + 1)
= (5/3) / (1/3 + 1)
= (5/3) / (4/3)
= 5/4

Jadi, jawabannya adalah:
a. -11/9
b. 73/9
c. -2/9
d. 5/4