Jika A^T=(2 -1 3 1), A dan B memiliki invers, dan

Matriks B adalah [[3, 2], [6, 9]].

Pembahasan

Diberikan informasi:
A^T = [[2, -1], [3, 1]]
A dan B memiliki invers.
(AB^-1)^-1 = [[1, -1], [3, 0]]

Kita perlu mencari matriks B.

Langkah 1: Cari matriks A dari A^T.
Jika A^T = [[2, -1], [3, 1]], maka A = (A^T)^T = [[2, 3], [-1, 1]].

Langkah 2: Gunakan sifat invers matriks pada persamaan yang diberikan.
Kita tahu bahwa (XY)^-1 = Y^-1 X^-1.
Maka, (AB^-1)^-1 = (B^-1)^-1 A^-1 = B A^-1.

Jadi, kita memiliki:
B A^-1 = [[1, -1], [3, 0]]

Langkah 3: Cari invers dari matriks A (A^-1).
Untuk matriks 2x2 [[a, b], [c, d]], inversnya adalah (1/(ad-bc)) * [[d, -b], [-c, a]].
Untuk A = [[2, 3], [-1, 1]]:
ad - bc = (2)(1) - (3)(-1) = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5.

A^-1 = (1/5) * [[1, -3], [-1, 2]] = [[1/5, -3/5], [-1/5, 2/5]].

Langkah 4: Substitusikan A^-1 ke dalam persamaan B A^-1.
B * [[1/5, -3/5], [-1/5, 2/5]] = [[1, -1], [3, 0]]

Langkah 5: Untuk mencari B, kalikan kedua sisi dengan A (karena A^-1 A = I, di mana I adalah matriks identitas).
B * [[1/5, -3/5], [-1/5, 2/5]] * A = [[1, -1], [3, 0]] * A
B * I = [[1, -1], [3, 0]] * [[2, 3], [-1, 1]]

B = [[1, -1], [3, 0]] * [[2, 3], [-1, 1]]

Langkah 6: Lakukan perkalian matriks.
B[1,1] = (1)(2) + (-1)(-1) = 2 + 1 = 3
B[1,2] = (1)(3) + (-1)(1) = 3 - 1 = 2
B[2,1] = (3)(2) + (0)(-1) = 6 + 0 = 6
B[2,2] = (3)(3) + (0)(1) = 9 + 0 = 9

Jadi, matriks B adalah [[3, 2], [6, 9]].

Verifikasi:
Kita bisa memeriksa apakah (AB^-1)^-1 = [[1, -1], [3, 0]].

B^-1? Perlu A^-1 dari B.
B = [[3, 2], [6, 9]]
det(B) = (3)(9) - (2)(6) = 27 - 12 = 15
B^-1 = (1/15) * [[9, -2], [-6, 3]] = [[9/15, -2/15], [-6/15, 3/15]] = [[3/5, -2/15], [-2/5, 1/5]]

AB^-1 = [[2, 3], [-1, 1]] * [[3/5, -2/15], [-2/5, 1/5]]
AB^-1[1,1] = (2)(3/5) + (3)(-2/5) = 6/5 - 6/5 = 0
AB^-1[1,2] = (2)(-2/15) + (3)(1/5) = -4/15 + 3/5 = -4/15 + 9/15 = 5/15 = 1/3
AB^-1[2,1] = (-1)(3/5) + (1)(-2/5) = -3/5 - 2/5 = -5/5 = -1
AB^-1[2,2] = (-1)(-2/15) + (1)(1/5) = 2/15 + 1/5 = 2/15 + 3/15 = 5/15 = 1/3

AB^-1 = [[0, 1/3], [-1, 1/3]]

(AB^-1)^-1? Kita perlu menghitung invers dari [[0, 1/3], [-1, 1/3]].
det(AB^-1) = (0)(1/3) - (1/3)(-1) = 0 - (-1/3) = 1/3
(AB^-1)^-1 = (1/(1/3)) * [[1/3, -1/3], [1, 0]]
(AB^-1)^-1 = 3 * [[1/3, -1/3], [1, 0]] = [[1, -1], [3, 0]]

Ini sesuai dengan informasi yang diberikan. Jadi, matriks B yang dihitung sudah benar.