Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 4 cm. Jika alpha

Nilai sin alpha adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin alpha, di mana alpha adalah sudut antara rusuk BF dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, kita perlu memahami konsep proyeksi dan trigonometri pada ruang.

Bidang BEG dibentuk oleh diagonal bidang BE dan BG.
Rusuk BF tegak lurus terhadap bidang alas ABCD.
Kita perlu mencari proyeksi BF ke bidang BEG. Proyeksi ini adalah garis dari titik F ke titik pada bidang BEG yang paling dekat dengan F. Namun, pendekatan yang lebih mudah adalah dengan mencari sudut antara BF dan salah satu garis di bidang BEG yang tegak lurus dengan bidang tersebut, atau dengan menggunakan vektor.

Alternatif lain adalah dengan mencari bidang yang tegak lurus dengan BF dan memotong BF di satu titik. Namun, ini juga rumit.

Mari kita gunakan pendekatan vektor:
Misalkan B adalah titik asal (0,0,0).
Karena panjang rusuk adalah 4 cm:
A = (4,0,0)
C = (0,4,0)
D = (4,4,0)
E = (0,0,4)
F = (4,0,4)
G = (4,4,4)
H = (0,4,4)

Rusuk BF diwakili oleh vektor BF = F - B = (4,0,4).
Bidang BEG dibentuk oleh vektor BE dan BG.
BE = E - B = (0,0,4)
BG = G - B = (4,4,4)

Sudut alpha antara rusuk BF dan bidang BEG adalah sudut antara vektor BF dan vektor normal bidang BEG. Namun, ini juga tidak langsung.

Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari sudut antara BF dan proyeksinya pada bidang BEG. Proyeksi BF pada bidang BEG adalah garis dari F yang tegak lurus bidang BEG.

Mari kita pertimbangkan segitiga siku-siku yang relevan. Sudut antara rusuk BF dan bidang BEG adalah sama dengan sudut antara BF dan garis pada bidang BEG yang merupakan proyeksi BF pada bidang tersebut.

Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BG adalah diagonal bidang, panjangnya = sqrt(BF^2 + FG^2) = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(32) = 4*sqrt(2).

Sekarang, mari kita tinjau segitiga siku-siku yang dibentuk oleh BF, BG, dan garis dari F yang jatuh pada BG (jika ada). Ini tidak tepat.

Kita perlu mencari sudut antara garis BF dan bidang BEG. Ini sama dengan sudut antara BF dan proyeksi BF pada bidang BEG. Proyeksi BF pada bidang BEG adalah garis dari F ke titik di bidang BEG yang memiliki jarak terpendek dari F. Titik ini adalah proyeksi F ke bidang BEG.

Cara paling mudah adalah dengan menggunakan sudut antara garis BF dan bidang. Sudut ini sama dengan 90 derajat dikurangi sudut antara BF dan garis normal bidang BEG. Atau, sudut antara BF dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh BF dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BG = 4*sqrt(2).
Perhatikan segitiga siku-siku ABF. AF = 4*sqrt(2).
Perhatikan segitiga siku-siku BCG. CG = 4.

Sudut antara garis BF (tegak lurus terhadap bidang ABCD) dan bidang BEG.
Perhatikan bidang ABFE. BF tegak lurus AB.

Mari kita gunakan koordinat lagi. B=(0,0,0), F=(4,0,4), E=(0,0,4), G=(4,4,4).

Kita perlu mencari sudut antara vektor BF = (4,0,4) dan bidang yang direntang oleh vektor BE = (0,0,4) dan BG = (4,4,4).

Normal bidang BEG:
n = BE x BG = (0,0,4) x (4,4,4)
n = (0*4 - 4*4, 4*4 - 0*4, 0*4 - 0*4) = (-16, 16, 0)

Sudut theta antara vektor BF dan normal n diberikan oleh:
cos(theta) = (BF . n) / (|BF| * |n|)
BF . n = (4)(-16) + (0)(16) + (4)(0) = -64
|BF| = sqrt(4^2 + 0^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2)
|n| = sqrt((-16)^2 + 16^2 + 0^2) = sqrt(256 + 256) = sqrt(512) = 16*sqrt(2)

cos(theta) = (-64) / (4*sqrt(2) * 16*sqrt(2)) = -64 / (64 * 2) = -64 / 128 = -1/2

Karena cos(theta) = -1/2, maka theta = 120 derajat.

Sudut alpha antara garis BF dan bidang BEG adalah 90 derajat dikurangi sudut antara BF dan normal bidang (jika sudut lancip).
Atau, jika theta adalah sudut antara vektor garis dan normal bidang, maka sudut antara garis dan bidang adalah 90 - |theta|.
Namun, ini berlaku jika kita mengambil vektor normal yang menunjuk keluar dari bidang.

Cara lain: sin(alpha) = |BF . n| / (|BF| * |n|) jika kita mencari sudut antara garis dan bidang.
sin(alpha) = |-64| / (4*sqrt(2) * 16*sqrt(2)) = 64 / 128 = 1/2.

Jadi, nilai sin alpha adalah 1/2.