Jika cos theta<0 dan sin theta=2/3 maka nilai tan 2theta=

Nilai tan 2theta adalah -4√5.

Pembahasan

Kita diberikan cos \(\theta\) < 0 dan sin \(\theta\) = 2/3. Karena sin \(\theta\) positif, \(\theta\) berada di kuadran I atau II. Namun, karena cos \(\theta\) negatif, \(\theta\) harus berada di kuadran II. Di kuadran II, nilai tan \(\theta\) adalah negatif.

Kita dapat mencari nilai cos \(\theta\) menggunakan identitas \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
\(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9\).
Karena \(\theta\) di kuadran II, cos \(\theta\) = -\(\sqrt{5}/3\).

Selanjutnya, kita hitung tan \(\theta\): \(\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta = (2/3) / (-\sqrt{5}/3) = -2/\sqrt{5}\).

Sekarang kita gunakan identitas tan 2\(\theta\) = (2 tan \(\theta\)) / (1 - tan^2 \(\theta\)).

substitusikan nilai tan \(\theta\):
\(\tan 2\theta = (2 * (-2/\sqrt{5})) / (1 - (-2/\sqrt{5})^2)
\(\tan 2\theta = (-4/\sqrt{5}) / (1 - 4/5)
\(\tan 2\theta = (-4/\sqrt{5}) / (1/5)
\(\tan 2\theta = (-4/\sqrt{5}) * 5
\(\tan 2\theta = -20/\sqrt{5}\).

Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt{5}\):
\(\tan 2\theta = (-20\sqrt{5}) / 5 = -4\sqrt{5}\).