Jika diketahui: A = (a c b d) dan B = (s t u v) serta m dan

Properti transpose matriks terbukti dengan menerapkan definisi transpose dan sifat skalar pada matriks.

Pembahasan

Untuk menunjukkan properti $(mA)^t = mA^t$ dan $(mA + nB)^t = mA^t + nB^t$, kita akan menggunakan definisi transpose matriks dan sifat skalar pada matriks.

Diketahui:
A = [[a, c], [b, d]]
B = [[s, t], [u, v]]
m dan n adalah skalar sebarang.

a. Tunjukkan bahwa $(mA)^t = mA^t$
   Pertama, hitung $mA$:
   $mA = m * [[a, c], [b, d]] = [[ma, mc], [mb, md]]$

   Selanjutnya, hitung transpose dari $mA$, yaitu $(mA)^t$:
   $(mA)^t = [[ma, mb], [mc, md]]$

   Sekarang, hitung $A^t$:
   $A^t = [[a, b], [c, d]]$

   Terakhir, hitung $mA^t$:
   $mA^t = m * [[a, b], [c, d]] = [[ma, mb], [mc, md]]$

   Karena $(mA)^t = [[ma, mb], [mc, md]]$ dan $mA^t = [[ma, mb], [mc, md]]$, maka terbukti bahwa $(mA)^t = mA^t$.

b. Tunjukkan bahwa $(mA + nB)^t = mA^t + nB^t$
   Pertama, hitung $mA + nB$:
   $mA = [[ma, mc], [mb, md]]$
   $nB = n * [[s, t], [u, v]] = [[ns, nt], [nu, nv]]$
   $mA + nB = [[ma + ns, mc + nt], [mb + nu, md + nv]]$

   Selanjutnya, hitung transpose dari $(mA + nB)$, yaitu $(mA + nB)^t$:
   $(mA + nB)^t = [[ma + ns, mb + nu], [mc + nt, md + nv]]$

   Sekarang, kita gunakan hasil dari bagian a, yaitu $mA^t = [[ma, mb], [mc, md]]$.
   Hitung $nB^t$:
   $B^t = [[s, u], [t, v]]$
   $nB^t = n * [[s, u], [t, v]] = [[ns, nu], [nt, nv]]$

   Terakhir, hitung $mA^t + nB^t$:
   $mA^t + nB^t = [[ma, mb], [mc, md]] + [[ns, nu], [nt, nv]]$
   $mA^t + nB^t = [[ma + ns, mb + nu], [mc + md, md + nv]]$

   Perhatikan ada kesalahan penulisan pada perhitungan $mA^t + nB^t$ di atas. Seharusnya:
   $mA^t + nB^t = [[ma, mb], [mc, md]] + [[ns, nu], [nt, nv]] = [[ma + ns, mb + nu], [mc + nt, md + nv]]$

   Karena $(mA + nB)^t = [[ma + ns, mb + nu], [mc + nt, md + nv]]$ dan $mA^t + nB^t = [[ma + ns, mb + nu], [mc + nt, md + nv]]$, maka terbukti bahwa $(mA + nB)^t = mA^t + nB^t$.