Jika diketahui f(x)=2x^3-9x^2+7x+6, nilai limit x->2

2

Pembahasan

Soal ini melibatkan perhitungan dua limit yang berbeda untuk fungsi yang sama, f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6.
Pertama, kita hitung limit x->2 f(x)/(x-2).
Jika kita substitusikan x=2 langsung ke f(x), kita akan mendapatkan f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 7(2) + 6 = 2(8) - 9(4) + 14 + 6 = 16 - 36 + 14 + 6 = 0.
Karena f(2)=0, maka (x-2) adalah faktor dari f(x). Kita dapat menggunakan pembagian polinomial atau aturan L'Hopital untuk menyelesaikan limit ini.
Menggunakan Aturan L'Hopital (karena bentuknya 0/0):
Limit x->2 f'(x) / (turunan dari x-2)
f'(x) = d/dx (2x^3 - 9x^2 + 7x + 6) = 6x^2 - 18x + 7.
Turunan dari (x-2) adalah 1.
Jadi, limit x->2 (6x^2 - 18x + 7) / 1 = 6(2)^2 - 18(2) + 7 = 6(4) - 36 + 7 = 24 - 36 + 7 = -5.

Kedua, kita hitung limit x->3 f(x)/(x-3).
Jika kita substitusikan x=3 langsung ke f(x), kita akan mendapatkan f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 7(3) + 6 = 2(27) - 9(9) + 21 + 6 = 54 - 81 + 21 + 6 = 0.
Karena f(3)=0, maka (x-3) adalah faktor dari f(x). Kita dapat menggunakan Aturan L'Hopital lagi:
Limit x->3 f'(x) / (turunan dari x-3)
f'(x) = 6x^2 - 18x + 7.
Turunan dari (x-3) adalah 1.
Jadi, limit x->3 (6x^2 - 18x + 7) / 1 = 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 6(9) - 54 + 7 = 54 - 54 + 7 = 7.

Terakhir, kita jumlahkan kedua hasil limit tersebut:
-5 + 7 = 2