Jika diketahui x dan y adalah bilangan real dengan x>1 dan

28

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan dari informasi yang tersedia:
1. xy = x^y
2. x/y = x^(5y)

Dan kita tahu bahwa x dan y adalah bilangan real dengan x > 1 dan y > 0.

Mari kita analisis persamaan kedua terlebih dahulu:
x/y = x^(5y)
Karena x > 1, kita bisa membagi kedua sisi dengan x (atau menggunakan sifat eksponen):
x^(1) * y^(-1) = x^(5y)

Menggunakan sifat eksponen a^m / a^n = a^(m-n), kita bisa menulis x/y sebagai:
x^(1-5y) = y^(-1)

Atau, kita bisa menggunakan properti bahwa jika a^b = a^c maka b = c (ketika a > 0 dan a != 1).
Dalam kasus kita, kedua sisi memiliki basis x di sisi kanan, jadi mari kita ubah sisi kiri agar memiliki basis yang sama.

Dari x/y = x^(5y):
Jika x > 1, kita bisa membagi kedua sisi dengan x:
1/y = x^(5y-1)

Sekarang, mari kita lihat persamaan pertama: xy = x^y
Karena x > 1, kita bisa membagi kedua sisi dengan x:
y = x^(y-1)

Sekarang kita punya dua persamaan:
(I) 1/y = x^(5y-1)
(II) y = x^(y-1)

Dari persamaan (II), kita bisa menulis x dalam bentuk y:
x = y^(1/(y-1))

Substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan (I):
1/y = [y^(1/(y-1))]^(5y-1)
1/y = y^((5y-1)/(y-1))

Sekarang kita punya:
y^(-1) = y^((5y-1)/(y-1))

Karena basisnya sama (y), maka eksponennya harus sama:
-1 = (5y-1)/(y-1)

Kalikan kedua sisi dengan (y-1) (karena y > 0, dan kita perlu memastikan y != 1 agar penyebut tidak nol. Jika y=1, maka dari xy=x^y menjadi x=x^1 yang selalu benar, dan x/y=x^(5y) menjadi x/1=x^5, jadi x=x^5. Karena x>1, ini tidak mungkin. Jadi y!=1).
-1 * (y-1) = 5y-1
-y + 1 = 5y - 1

Pindahkan semua y ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
1 + 1 = 5y + y
2 = 6y
y = 2/6
y = 1/3

Sekarang kita punya nilai y. Substitusikan nilai y kembali ke salah satu persamaan untuk mencari x. Mari gunakan y = x^(y-1):
1/3 = x^((1/3)-1)
1/3 = x^(-2/3)

Untuk mencari x, kita bisa mengangkat kedua sisi ke pangkat (-3/2):
(1/3)^(-3/2) = (x^(-2/3))^(-3/2)
(3)^(3/2) = x^1
x = 3^(3/2)
x = (3^3)^(1/2)
x = sqrt(27)
x = 3 * sqrt(3)

Kita perlu memeriksa apakah x > 1 dan y > 0. y = 1/3 > 0. x = 3 * sqrt(3) ≈ 3 * 1.732 = 5.196 > 1. Kondisi terpenuhi.

Sekarang kita perlu menghitung x^2 + 3y:
x^2 = (3^(3/2))^2 = 3^3 = 27
3y = 3 * (1/3) = 1

x^2 + 3y = 27 + 1 = 28.

Jadi, x^2 + 3y = 28.