Jika f^(-1)(x^2+4x+5)=x+2 dan g^(-1)(x)=(x+5)/3 maka

f(4) = \sqrt{3}

Pembahasan

Diberikan fungsi invers $f^{-1}(x^2+4x+5)=x+2$ dan $g^{-1}(x)=(x+5)/3$. Kita perlu mencari nilai dari $(fog)(3)$.

Langkah 1: Cari nilai $g(3)$.
Untuk mencari $g(3)$, kita perlu mencari invers dari $g^{-1}(x)$. Jika $g^{-1}(x) = y$, maka $g(y) = x$.
Misalkan $y = g^{-1}(x) = (x+5)/3$.
Maka $3y = x+5$, sehingga $x = 3y - 5$.
Jadi, $g(x) = 3x - 5$.
Sekarang kita bisa hitung $g(3)$: $g(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$.

Langkah 2: Cari nilai $f(g(3))$, yaitu $f(4)$.
Kita diberikan $f^{-1}(x^2+4x+5)=x+2$.
Misalkan $y = f^{-1}(x^2+4x+5)$, maka $f(y) = x^2+4x+5$.
Kita ingin mencari $f(4)$. Jadi, kita perlu membuat argumen dari $f^{-1}$ sama dengan 4.
$x^2+4x+5 = 4$
$x^2+4x+1 = 0$

Ini tidak mudah diselesaikan untuk x secara langsung. Mari kita coba pendekatan lain.
Dari $f^{-1}(x^2+4x+5)=x+2$, kita bisa mencari $f(x)$.
Misalkan $u = x^2+4x+5$. Kita perlu mengekspresikan x dalam u.
$u = (x+2)^2 + 1$
$u - 1 = (x+2)^2$
$\\sqrt{u-1} = x+2$ (Kita ambil akar positif karena $x+2$ adalah hasil dari invers).
$x = \sqrt{u-1} - 2$.

Maka, $f(u) = x+2 = (\sqrt{u-1} - 2) + 2 = \sqrt{u-1}$.
Jadi, $f(x) = \sqrt{x-1}$.

Sekarang kita perlu mencari $f(4)$.
$f(4) = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$.

Jadi, $(fog)(3) = f(g(3)) = f(4) = \sqrt{3}$.