Jika f(x)=(4x+5)/(3x+2), x =/=-2/3 adalah invers dari g(x),

f(x)

Pembahasan

Misalkan f(x) = (4x+5)/(3x+2). Karena g(x) adalah invers dari f(x), maka f(x) adalah invers dari g(x), atau f(x) = g^-1(x). Yang ditanyakan adalah (g o f o g^-1)(x). Kita tahu bahwa g(x) = f^-1(x), sehingga g^-1(x) = (f^-1)^-1(x) = f(x). Maka, (g o f o g^-1)(x) = (g o f o f)(x). Namun, ada sifat penting dalam fungsi invers bahwa (f o f^-1)(x) = x dan (f^-1 o f)(x) = x. Dalam kasus ini, kita memiliki g^-1(x) = f(x). Jadi, (g o f o g^-1)(x) = (g o f o f)(x). Ini bukanlah bentuk yang dapat disederhanakan secara langsung tanpa mengetahui g(x). Namun, jika yang dimaksud adalah (f o g)(x) atau (g o f)(x), maka hasilnya adalah x. Jika yang ditanyakan adalah komposisi fungsi dengan inversnya, maka seringkali jawabannya adalah x. Mari kita coba cari invers dari f(x). Misalkan y = (4x+5)/(3x+2). Maka y(3x+2) = 4x+5 => 3xy + 2y = 4x+5 => 3xy - 4x = 5 - 2y => x(3y-4) = 5-2y => x = (5-2y)/(3y-4). Jadi, g(x) = f^-1(x) = (5-2x)/(3x-4). Sekarang kita hitung (g o f o g^-1)(x). Kita tahu g^-1(x) = f(x). Jadi, (g o f o f)(x). Kita hitung f(f(x)) terlebih dahulu. f(f(x)) = (4((4x+5)/(3x+2)) + 5) / (3((4x+5)/(3x+2)) + 2). f(f(x)) = ((16x+20+15x+10)/(3x+2)) / ((12x+15+6x+4)/(3x+2)). f(f(x)) = (31x+30)/(18x+19). Sekarang kita hitung g(f(f(x))) = g((31x+30)/(18x+19)). g(y) = (5-2y)/(3y-4). g(f(f(x))) = (5 - 2((31x+30)/(18x+19))) / (3((31x+30)/(18x+19)) - 4). g(f(f(x))) = ((5(18x+19) - 2(31x+30))/(18x+19)) / ((3(31x+30) - 4(18x+19))/(18x+19)). g(f(f(x))) = (90x+95 - 62x-60) / (93x+90 - 72x-76). g(f(f(x))) = (28x+35) / (21x+14). Ini juga tidak menghasilkan x. Kemungkinan besar ada kekeliruan dalam memahami soal atau ada sifat yang terlewat. Jika g adalah invers dari f, maka g^-1 adalah f. Jadi, (g o f o g^-1)(x) = (g o f o f)(x). Jika kita komposisikan f dengan inversnya, hasilnya adalah x. Yaitu f(g(x)) = x atau g(f(x)) = x. Yang ditanyakan adalah (g o f o g^-1)(x). Mengganti g^-1 dengan f, menjadi (g o f o f)(x). Jika kita komposisikan f dengan dirinya sendiri, hasilnya seperti di atas. Ada kemungkinan soal ini menguji pemahaman tentang sifat komposisi fungsi invers. Jika g = f^-1, maka g^-1 = f. Jadi yang ditanyakan adalah (f^-1 o f o f)(x). Karena (f^-1 o f)(x) = x, maka (f^-1 o f o f)(x) = (x o f)(x) = f(x). Jadi jawabannya adalah f(x) = (4x+5)/(3x+2).