Jika f(x)=6x-3 cos 2x, limit h -> 0 (f(x+h)-f(x))/h=. . . .

6 - 6 sin(2x)

Pembahasan

Ini adalah soal limit yang berkaitan dengan definisi turunan. Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 6x - 3 cos(2x).
Limit h -> 0 (f(x+h) - f(x))/h adalah definisi dari turunan pertama f'(x).

Langkah pertama adalah mencari f(x+h):
f(x+h) = 6(x+h) - 3 cos(2(x+h))
f(x+h) = 6x + 6h - 3 cos(2x + 2h)

Selanjutnya, kita hitung f(x+h) - f(x):
f(x+h) - f(x) = (6x + 6h - 3 cos(2x + 2h)) - (6x - 3 cos(2x))
f(x+h) - f(x) = 6h - 3 cos(2x + 2h) + 3 cos(2x)

Sekarang kita masukkan ke dalam limit:
lim h->0 (6h - 3 cos(2x + 2h) + 3 cos(2x)) / h
Kita bisa pisahkan menjadi:
lim h->0 (6h/h) - lim h->0 (3 cos(2x + 2h) - 3 cos(2x)) / h

Bagian pertama: lim h->0 (6h/h) = lim h->0 6 = 6

Bagian kedua: lim h->0 (3 cos(2x + 2h) - 3 cos(2x)) / h
Ini adalah bentuk tak tentu 0/0. Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Menggunakan aturan L'Hopital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap h):
Turunan pembilang terhadap h: 3 * (-sin(2x + 2h)) * 2 = -6 sin(2x + 2h)
Turunan penyebut terhadap h: 1

Maka limitnya menjadi: lim h->0 (-6 sin(2x + 2h)) / 1 = -6 sin(2x)

Jadi, hasil limitnya adalah 6 - 6 sin(2x).

Cara lain untuk bagian kedua menggunakan identitas trigonometri cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2):
cos(2x + 2h) - cos(2x) = -2 sin((2x + 2h + 2x)/2) sin((2x + 2h - 2x)/2)
= -2 sin((4x + 2h)/2) sin(2h/2)
= -2 sin(2x + h) sin(h)

Maka bagian kedua menjadi:
lim h->0 (3 * -2 sin(2x + h) sin(h)) / h
= lim h->0 (-6 sin(2x + h) sin(h)) / h
= -6 lim h->0 sin(2x + h) * lim h->0 (sin(h) / h)
Kita tahu bahwa lim h->0 sin(h) / h = 1.
Jadi, -6 sin(2x) * 1 = -6 sin(2x).

Hasil akhirnya adalah 6 - 6 sin(2x).